Übung: Besondere rechtwinklige Dreiecke

randRange( 2, 7 )

In dem rechtwinkligen Dreieck ist AC = BC = AC. Was ist AB?

betterTriangle( 1, 1, "A", "B", "C", AC, AC, "x" );
AC * AC * 2

Wir kennen die LĂ€nge der Schenkel des Dreiecks. Wir mĂŒssen die LĂ€nge der Hypotenuse bestimmen. Welcher mathematischer Zusammenhang besteht zwischen dem Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks und dessen Hypotenuse?

Wir können entweder den Sinus (Gegenkathete geteilt durch Hypotenuse) oder den Cosinus (Ankathete geteilt durch Hypotenuse) verwenden. Da die beiden Schenkel des Dreiecks kongruent sind, ist dies ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck (45°-45°-90° Winkel) und wir kennen die Werte von Sinus und Cosinus von allen Winkeln des Dreiecks.

Probieren wir den Sinus:

betterTriangle( 1, 1, "A", "B", "C", AC, AC, "x" ); arc([5/sqrt(2), 0], 0.5, 135, 180); label([5/sqrt(2)-0.4, -0.1], "{45}^{\\circ}", "above left");

Sinus ist die Gegenkathete geteilt durch die Hypotenuse, daher ist \sin {45}^{\circ} gleich \dfrac{AC}{x}. Wir wissen auch, dass \sin{45}^{\circ} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}.

Wir lösen nach xauf. Dadurch erhalten wir

\qquad x \cdot \sin {45}^{\circ} = AC

\qquad x \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = AC

\qquad x = AC \cdot \dfrac{2}{\sqrt{2}}

Daher ist die Hypotenuse \sqrt{2} mal so lang wie jeder der Schenkel, da x = AC \cdot \sqrt{2}.

2 * randRange( 2, 6 )

In dem rechtwinkligen Dreieck ist AC = BC und AB = AB. Welche LĂ€nge haben die Schenkel?

betterTriangle( 1, 1, "A", "B", "C", "x", "x", AB );
AB * AB / 2

Wir kennen die LĂ€nge der Hypotenuse. Wir mĂŒssen die LĂ€ngen der Schenkel bestimmen. Welcher mathematischer Zusammenhang besteht zwischen den Schenkeln eines rechtwinkligen Dreiecks und dessen Hypotenuse?

Wir können entweder den Sinus (Gegenkathete geteilt durch Hypotenuse) oder den Cosinus (Ankathete geteilt durch Hypotenuse) verwenden. Da die beiden Schenkel des Dreiecks kongruent sind, ist dies ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck (45°-45°-90° Winkel) und wir kennen die Werte von Sinus und Cosinus von allen Winkeln des Dreiecks.

Probieren wir den Cosinus:

betterTriangle( 1, 1, "A", "B", "C", "x", "x", AB ); arc([5/sqrt(2), 0], 0.5, 135, 180); label([5/sqrt(2)-0.4, -0.1], "{45}^{\\circ}", "above left");

Cosinus ist die Ankathete geteilt durch Hypotenuse, daher ist \cos {45}^{\circ} gleich \dfrac{x}{AB}. Wir wissen auch, dass \cos{45}^{\circ} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}.

Wir lösen nach xauf. Dadurch erhalten wir x = AB \cdot \cos {45}^{\circ} = AB \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}

Daher ist x = AB/2 \sqrt{2}.

2 * randRange( 2, 6 )

In dem rechtwinkligen Dreieck ist AC = BC und AB = AB\sqrt{2}. Welche LĂ€nge haben die Schenkel?

betterTriangle( 1, 1, "A", "B", "C", "x", "x", AB + "\\sqrt{2}" );
AB * AB

Wir kennen die LĂ€nge der Hypotenuse. Wir mĂŒssen die LĂ€ngen der Schenkel bestimmen. Welcher mathematischer Zusammenhang besteht zwischen den Schenkeln eines rechtwinkligen Dreiecks und dessen Hypotenuse?

Wir können entweder den Sinus (Gegenkathete geteilt durch Hypotenuse) oder den Cosinus (Ankathete geteilt durch Hypotenuse) verwenden. Da die beiden Schenkel des Dreiecks kongruent sind, ist dies ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck (45°-45°-90° Winkel) und wir kennen die Werte von Sinus und Cosinus von allen Winkeln des Dreiecks.

Probieren wir den Cosinus:

betterTriangle( 1, 1, "A", "B", "C", "x", "x", AB + "\\sqrt{2}" ); arc([5/sqrt(2), 0], 0.5, 135, 180); label([5/sqrt(2)-0.4, -0.1], "{45}^{\\circ}", "above left");

Cosinus ist die Ankathete geteilt durch Hypotenuse, daher ist \cos {45}^{\circ} gleich \dfrac{x}{AB\sqrt{2}}. Wir wissen, dass \cos{45}^{\circ} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}.

Wir lösen nach xauf. Dadurch erhalten wir x = AB\sqrt{2} \cdot \cos {45}^{\circ} = AB\sqrt{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}

Daher ist x = AB \left(\dfrac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{2}\right) = AB \left(\dfrac{2}{2}\right) = AB.

randRange( 2, 6 ) randFromArray([ [1, ""], [3, "\\sqrt{3}"] ]) BC + BCrs randFromArray([ "\\angle A = 30^\\circ", "\\angle B = 60^\\circ" ])

In dem rechtwinkligen Dreieck ist mAB und BC = BC + BCrs. Welche LĂ€nge hat AB?

betterTriangle( 1, sqrt(3), "A", "B", "C", BC + BCrs, "", "x" );
4 * BC * BC * BCr

Wir kennen die LĂ€nge eines Schenkels. Wir mĂŒssen die LĂ€ngen der Hypotenuse bestimmen. Welcher mathematischer Zusammenhang besteht zwischen dem Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks und dessen Hypotenuse?

Wir können entweder den Sinus (Gegenkathete geteilt durch Hypotenuse) oder den Cosinus (Ankathete geteilt durch Hypotenuse) verwenden. Da die beiden Schenkel des Dreiecks kongruent sind, ist dies ein 30°-60°-90° Dreieck und wir kennen die Werte von Sinus und Cosinus von allen Winkeln des Dreiecks.

Probieren wir den Sinus:

betterTriangle( 1, sqrt(3), "A", "B", "C", BC + BCrs, "", "x" ); arc([0, 5*sqrt(3)/2], 0.8, 270, 300); label([-0.1, (5*sqrt(3)/2)-1], "{30}^{\\circ}", "below right");

Sinus ist die Gegenkathete geteilt durch Hypotenuse, daher ist \sin {30}^{\circ} = \dfrac{BCdisp}{x}. Wir wissen auch, dass \sin{30}^{\circ} = \dfrac{1}{2}.

Wir lösen nach xauf. Dadurch erhalten wir

\qquad x \cdot \sin{30}^{\circ} = BCdisp

\qquad x \cdot \dfrac{1}{2} = BCdisp

\qquad x = BCdisp \cdot 2

Daher ist x = BC*2 + BCrs.

3 * randRange( 2, 6 ) randFromArray([ [1, "", (AC * 2 / 3) + "\\sqrt{3}", AC * AC * 4 / 3], [3, "\\sqrt{3}", (AC * 2), AC * AC * 4] ]) AC + ACrs randFromArray([ "\\angle A = 30^\\circ", "\\angle B = 60^\\circ" ])

In dem rechtwinkligen Dreieck ist mAB und AC = AC + ACrs. Welche LĂ€nge hat AB?

betterTriangle( 1, sqrt(3), "A", "B", "C", "", AC + ACrs, "x" );
AB

Wir kennen die LĂ€nge eines Schenkels. Wir mĂŒssen die LĂ€ngen der Hypotenuse bestimmen. Welcher mathematischer Zusammenhang besteht zwischen dem Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks und dessen Hypotenuse?

Wir können entweder den Sinus (Gegenkathete geteilt durch Hypotenuse) oder den Cosinus (Ankathete geteilt durch Hypotenuse) verwenden. Da die beiden Schenkel des Dreiecks kongruent sind, ist dies ein 30°-60°-90° Dreieck und wir kennen die Werte von Sinus und Cosinus von allen Winkeln des Dreiecks.

Probieren wir den Cosinus:

betterTriangle( 1, sqrt(3), "A", "B", "C", "", AC + ACrs, "x" ); arc([0, 5*sqrt(3)/2], 0.8, 270, 300); label([-0.1, (5*sqrt(3)/2)-1], "{30}^{\\circ}", "below right");

Cosinus ist die Ankathete geteilt durch Hypotenuse, daher ist \cos {30}^{\circ} = \dfrac{ACdisp}{x}. Wir wissen auch, dass \cos{30}^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.

Wir lösen nach xauf. Dadurch erhalten wir

\qquad x \cdot \cos{30}^{\circ} = ACdisp

\qquad x \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = ACdisp

\qquad x = ACdisp \cdot \dfrac{2}{\sqrt{3}}

\qquad x = ACdisp \cdot \dfrac{2\cdot\sqrt{3}}{3}

Daher ist x = ABs.

randRange( 2, 6 ) randFromArray([ [1, ""], [3, "\\sqrt{3}"] ]) 2*BC + BCrs randFromArray([ "\\angle A = 30^\\circ", "\\angle B = 60^\\circ" ])

In dem rechtwinkligen Dreieck ist mAB und AB = ( 2 * BC ) + BCrs. Welche LĂ€nge hat BC?

betterTriangle( 1, sqrt(3), "A", "B", "C", "x", "", ( 2 * BC ) + BCrs );
BC * BC * BCr

Wir kennen die LĂ€nge der Hypotenuse. Wir mĂŒssen die LĂ€ngen der Schenkel bestimmen. Welcher mathematischer Zusammenhang besteht zwischen den Schenkeln eines rechtwinkligen Dreiecks und dessen Hypotenuse?

Wir können entweder den Sinus (Gegenkathete geteilt durch Hypotenuse) oder den Cosinus (Ankathete geteilt durch Hypotenuse) verwenden. Da die beiden Schenkel des Dreiecks kongruent sind, ist dies ein 30°-60°-90° Dreieck und wir kennen die Werte von Sinus und Cosinus von allen Winkeln des Dreiecks.

Probieren wir den Cosinus:

betterTriangle( 1, sqrt(3), "A", "B", "C", "x", "", ( 2 * BC ) + BCrs ); arc([5/2,0], 0.5, 120, 180); label([5/2-0.2, 0], "{60}^{\\circ}", "above left");

Cosinus ist die Ankathete geteilt durch Hypotenuse, daher ist \cos {60}^{\circ} = \dfrac{x}{ABdisp}. Wir wissen auch, dass \cos{60}^{\circ} = \dfrac{1}{2}.

Wir lösen nach x auf. Dadurch erhalten wir

\qquad x = ABdisp \cdot \cos{60}^{\circ}

\qquad x = ABdisp \cdot \dfrac{1}{2}

Daher ist x = BC + BCrs.

3 * randRange( 2, 6 ) randFromArray([ [1, "", (AC * 2 / 3) + "\\sqrt{3}", AC * AC * 4 / 3], [3, "\\sqrt{3}", (AC * 2), AC * AC * 4] ]) randFromArray([ "\\angle A = 30^\\circ", "\\angle B = 60^\\circ" ])

In dem rechtwinkligen Dreieck ist mAB und AB = ABs. Welche LĂ€nge hat AC?

betterTriangle( 1, sqrt(3), "A", "B", "C", "", "x", ABs );
AC * AC * ACr

Wir kennen die LĂ€nge der Hypotenuse. Wir mĂŒssen die LĂ€ngen der Schenkel bestimmen. Welcher mathematischer Zusammenhang besteht zwischen den Schenkeln eines rechtwinkligen Dreiecks und dessen Hypotenuse?

Wir können entweder den Sinus (Gegenkathete geteilt durch Hypotenuse) oder den Cosinus (Ankathete geteilt durch Hypotenuse) verwenden. Da die beiden Schenkel des Dreiecks kongruent sind, ist dies ein 30°-60°-90° Dreieck und wir kennen die Werte von Sinus und Cosinus von allen Winkeln des Dreiecks.

Probieren wir den Sinus:

betterTriangle( 1, sqrt(3), "A", "B", "C", "", "x", ABs ); arc([5/2,0], 0.5, 120, 180); label([5/2-0.2, 0], "{60}^{\\circ}", "above left");

Sinus ist die Gegenkathete geteilt durch Hypotenuse, daher ist \sin {60}^{\circ} = \dfrac{x}{ABs}. Wir wissen auch, dass \sin{60}^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.

Wir lösen nach xauf. Dadurch erhalten wir

\qquad x = ABs \cdot \sin{60}^{\circ}

\qquad x = ABs \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}

Daher ist x = AC + ACrs.