Übung: 68-95-99,7-Regel

animal( 1 ) plural( animal( 1 ) )

roundTo( 1, animalAvgLifespan( 1 ) * ( randRange( 80, 120 ) / 100 ) ) roundTo( 1, animalStddevLifespan( 1 ) * ( randRange( 20, 120 ) / 100 ) )

randRangeNonZero( -3, 3 ) { "-3": 99.7, "-2": 95, "-1": 68, "1": 68, "2": 95, "3": 99.7 }[ Z ] { "-3": 99.85, "-2": 97.5, "-1": 84, "1": 16, "2": 2.5, "3": 0.15 }[ Z ]

Die Lebenserwartung von ANIMALS in einem bestimmten Zoo ist normalverteilt. Der durchschnittliche ANIMAL lebt localeToFixed(MEAN,1) Jahre; die Standardabweichung ist localeToFixed(STDDEV,1) Jahre.

Schätze die Wahrscheinlichkeit, dass ein ANIMAL länger als localeToFixed(roundTo( 1, MEAN + STDDEV * Z ),-1) Jahre lebt.

ANSWER / 100

Wir können die 68-95-99,7% Regel verwenden, um das Ergebnis zu schätzen.

init({ range: [ [ MEAN - STDDEV * 3.5, MEAN + STDDEV * 3.5 ], [ -1.5, 4.3 ] ], scale: [ 475 / ( STDDEV * 7 ), 40 ] }); style({ stroke: "#bbb" }, function() { line( [ MEAN - STDDEV * 4, 0 ], [ MEAN + STDDEV * 4, 0 ] ); }); graph.pdf = function( x ) { return gaussianPDF( MEAN, STDDEV, x ) * 4 / gaussianPDF( MEAN, STDDEV, MEAN ) + 0.2; }; style({ stroke: BLUE }, function() { plot( graph.pdf, [ MEAN - STDDEV * 3.5, MEAN + STDDEV * 3.5 ]); }); style({ stroke: PINK }, function() { graph.meanLine = line( [ MEAN, 0 ], [ MEAN, graph.pdf( MEAN ) ] ).toBack(); }); graph.meanLabel = label( [ MEAN, 0 ], localeToFixed(MEAN,-1), "below", { color: PINK } ); graph.zLine = []; graph.zLabel = [];

Wir wissen das die Lebenserwartung normalverteilt ist, mit einer durchschnittlichen Lebenserwartung von \pink{localeToFixed(MEAN,-1)} Jahren.

graph.meanLine.attr({ stroke: "#bbb" }); graph.meanLabel.css({ color: "#bbb" }); $( "#meanHint" ).parent().removeClass( "hint_pink" ); style({ stroke: PINK }, function() { graph.zLine[ -1 ] = line( [ MEAN - STDDEV, 0 ], [ MEAN - STDDEV, graph.pdf( MEAN - STDDEV ) ] ).toBack(); graph.zLine[ 1 ] = line( [ MEAN + STDDEV, 0 ], [ MEAN + STDDEV, graph.pdf( MEAN + STDDEV ) ] ).toBack(); }); graph.zLabel[ -1 ] = label( [ MEAN - STDDEV, 0 ], roundTo( 1, MEAN - STDDEV ), "below", { color: PINK } ); graph.zLabel[ 1 ] = label( [ MEAN + STDDEV, 0 ], roundTo( 1, MEAN + STDDEV ), "below", { color: PINK } );

Wir wissen, dass die Standardabweichung localeToFixed(STDDEV,1) Jahre ist, also ist eine Standardabweichung unter dem Erwartungswert \pink{localeToFixed(roundTo( 1, MEAN - STDDEV ),1)} Jahre und eine Standardabweichung über dem Erwartungswert sind \pink{localeToFixed(roundTo( 1, MEAN + STDDEV ),1)} Jahre.

graph.zLine[ -1 ].attr({ stroke: "#bbb" }); graph.zLine[ 1 ].attr({ stroke: "#bbb" }); graph.zLabel[ -1 ].css({ color: "#bbb" }); graph.zLabel[ 1 ].css({ color: "#bbb" }); $( "#zm1Hint" ).parent().removeClass( "hint_pink" ); $( "#zp1Hint" ).parent().removeClass( "hint_pink" ); style({ stroke: PINK }, function() { graph.zLine[ -2 ] = line( [ MEAN - STDDEV * 2, 0 ], [ MEAN - STDDEV * 2, graph.pdf( MEAN - STDDEV * 2 ) ] ).toBack(); graph.zLine[ 2 ] = line( [ MEAN + STDDEV * 2, 0 ], [ MEAN + STDDEV * 2, graph.pdf( MEAN + STDDEV * 2 ) ] ).toBack(); }); graph.zLabel[ -2 ] = label( [ MEAN - STDDEV * 2, 0 ], roundTo( 1, MEAN - STDDEV * 2 ), "below", { color: PINK } ); graph.zLabel[ 2 ] = label( [ MEAN + STDDEV * 2, 0 ], roundTo( 1, MEAN + STDDEV * 2 ), "below", { color: PINK } );

Zwei Standardabweichung unter dem Erwartungswert sind \pink{localeToFixed(roundTo( 1, MEAN - STDDEV * 2 ),-1)} Jahre und zwei Standardabweichung über dem Erwartungswert sind \pink{localeToFixed(roundTo( 1, MEAN + STDDEV * 2 ),-1)} Jahre.

graph.zLine[ -2 ].attr({ stroke: "#bbb" }); graph.zLine[ 2 ].attr({ stroke: "#bbb" }); graph.zLabel[ -2 ].css({ color: "#bbb" }); graph.zLabel[ 2 ].css({ color: "#bbb" }); $( "#zm2Hint" ).parent().removeClass( "hint_pink" ); $( "#zp2Hint" ).parent().removeClass( "hint_pink" ); style({ stroke: PINK }, function() { graph.zLine[ -3 ] = line( [ MEAN - STDDEV * 3, 0 ], [ MEAN - STDDEV * 3, graph.pdf( MEAN - STDDEV * 3 ) ] ).toBack(); graph.zLine[ 3 ] = line( [ MEAN + STDDEV * 3, 0 ], [ MEAN + STDDEV * 3, graph.pdf( MEAN + STDDEV * 3 ) ] ).toBack(); }); graph.zLabel[ -3 ] = label( [ MEAN - STDDEV * 3, 0 ], roundTo( 1, MEAN - STDDEV * 3 ), "below", { color: PINK } ); graph.zLabel[ 3 ] = label( [ MEAN + STDDEV * 3, 0 ], roundTo( 1, MEAN + STDDEV * 3 ), "below", { color: PINK } );

Drei Standardabweichung unter dem Erwartungswert sind \pink{localeToFixed(roundTo( 1, MEAN - STDDEV * 3 ),-1)} Jahre und drei Standardabweichung über dem Erwartungswert sind \pink{localeToFixed(roundTo( 1, MEAN + STDDEV * 3 ),-1)} Jahre.

graph.zLine[ -3 ].attr({ stroke: "#bbb" }); graph.zLine[ 3 ].attr({ stroke: "#bbb" }); graph.zLabel[ -3 ].css({ color: "#bbb" }); graph.zLabel[ 3 ].css({ color: "#bbb" }); $( "#zm3Hint" ).parent().removeClass( "hint_pink" ); $( "#zp3Hint" ).parent().removeClass( "hint_pink" ); graph.zLine[ Z ].attr({ stroke: PINK }); graph.zLabel[ Z ].css({ color: PINK }); style({ stroke: PINK, fill: PINK, arrows: "->" }, function() { line( [ MEAN + STDDEV * Z, -1 ], [ MEAN + STDDEV * 3.5, -1 ] ); ellipse( [ MEAN + STDDEV * Z, -1 ], [ 3 / ( 600 / ( STDDEV * 7 ) ), 3 / 40 ] ); });

Wir wollen wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass ein ANIMAL länger als \pink{localeToFixed(roundTo( 1, MEAN + STDDEV * Z ),1)} Jahre lebt.

Die 68-95-99,7-Regel sagt uns, dass \green{EMPIRICAL\%} der ANIMALS eine Lebenserwartung haben werden, die abs( Z ) StandardabweichungStandardabweichungen vom Mittelwert entfernt liegt.

style({ arrows: "->", stroke: "green" }, function() { path([ [ MEAN - STDDEV * abs( Z ), graph.pdf( MEAN - STDDEV * Z ) + 0.2 ], [ MEAN - STDDEV * abs( Z ), graph.pdf( MEAN - STDDEV * Z ) + 0.4 ], [ MEAN - STDDEV * 3.5, graph.pdf( MEAN - STDDEV * Z ) + 0.4 ] ]); }); label( [ MEAN - STDDEV * ( ( abs( Z ) + 3.5 ) / 2 ), graph.pdf( MEAN - STDDEV * Z ) + 0.3 ], roundTo( 2, ( 100 - EMPIRICAL ) / 2 ) + "\\%", "above", { color: "green" } ); style({ arrows: "->", stroke: "green" }, function() { path([ [ MEAN + STDDEV * abs( Z ), graph.pdf( MEAN + STDDEV * Z ) + 0.2 ], [ MEAN + STDDEV * abs( Z ), graph.pdf( MEAN + STDDEV * Z ) + 0.4 ], [ MEAN + STDDEV * 3.5, graph.pdf( MEAN + STDDEV * Z ) + 0.4 ] ]); }); label( [ MEAN + STDDEV * ( ( abs( Z ) + 3.5 ) / 2 ), graph.pdf( MEAN + STDDEV * Z ) + 0.3 ], roundTo( 2, ( 100 - EMPIRICAL ) / 2 ) + "\\%", "above", { color: "green" } );

Die übrigen localeToFixed(roundTo( 2, 100 - EMPIRICAL ),-1)\% der ANIMALS werden eine Lebenserwartung haben die außerhalb der schattierten Fläche liegt. Da die Normalverteilung symmetrisch ist, die Hälfte der (\color{green}{localeToFixed(roundTo( 2, ( 100 - EMPIRICAL ) / 2 ),-1)\%}) werden kürzer als localeToFixed(roundTo( 2, MEAN - STDDEV * abs( Z ) ),-1) Jahre leben und die andere Hälfte (\color{green}{localeToFixed(roundTo( 2, ( 100 - EMPIRICAL ) / 2 ),-1)\%}) wird länger leben als localeToFixed(roundTo( 2, MEAN + STDDEV * abs( Z ) ),-1) Jahre.

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter ANIMAL länger lebt als localeToFixed(roundTo( 1, MEAN + STDDEV * Z ),-1) Jahre ist \color{green}{localeToFixed(EMPIRICAL,-1)\%} + \color{green}{localeToFixed(roundTo( 2, ( 100 - EMPIRICAL ) / 2 ),-1)\%}, bzw. localeToFixed(ANSWER,-1)\%.

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter ANIMAL länger lebt als localeToFixed(roundTo( 1, MEAN + STDDEV * Z ),-1) Jahre ist \color{green}{ANSWER\%}.

{ "3": 99.85, "2": 97.5, "1": 84, "-1": 16, "-2": 2.5, "-3": 0.15 }[ Z ]

Schätze die Wahrscheinlichkeit, dass ein ANIMAL kürzer als localeToFixed(roundTo( 1, MEAN + STDDEV * Z ),-1) Jahre lebt.

graph.zLine[ -3 ].attr({ stroke: "#bbb" }); graph.zLine[ 3 ].attr({ stroke: "#bbb" }); graph.zLabel[ -3 ].css({ color: "#bbb" }); graph.zLabel[ 3 ].css({ color: "#bbb" }); $( "#zm3Hint" ).parent().removeClass( "hint_pink" ); $( "#zp3Hint" ).parent().removeClass( "hint_pink" ); graph.zLine[ Z ].attr({ stroke: PINK }); graph.zLabel[ Z ].css({ color: PINK }); style({ stroke: PINK, fill: PINK, arrows: "->" }, function() { line( [ MEAN + STDDEV * Z, -1 ], [ MEAN + STDDEV * -3.5, -1 ] ); ellipse( [ MEAN + STDDEV * Z, -1 ], [ 3 / ( 600 / ( STDDEV * 7 ) ), 3 / 40 ] ); });

Wir wollen wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass ein ANIMAL kürzer lebt als localeToFixed(roundTo( 1, MEAN + STDDEV * Z ),-1) Jahre.

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter ANIMAL kürzer lebt als localeToFixed(roundTo( 1, MEAN + STDDEV * Z ),-1) Jahre ist \green{EMPIRICAL\%} + \green{localeToFixed(roundTo( 2, ( 100 - EMPIRICAL ) / 2 ),-1)\%}, bzw. localeToFixed(ANSWER,-1)\%.

Die Wahrscheinlichkeit das ein bestimmter ANIMAL kürzer lebt als \pink{localeToFixed(roundTo( 1, MEAN + STDDEV * Z ),-1)} Jahre ist \green{localeToFixed(ANSWER,-1)\%}.

randRangeNonZero( -3, 2 ) randRangeNonZero( Z1 + 1, 3 ) max( abs( Z1 ), abs( Z2 ) ) min( abs( Z1 ), abs( Z2 ) ) { "-3": 99.7, "-2": 95, "-1": 68, "1": 68, "2": 95, "3": 99.7 }[ Z_MAX ] { "-3": 99.7, "-2": 95, "-1": 68, "1": 68, "2": 95, "3": 99.7 }[ Z_MIN ] { "3": 99.85, "2": 97.5, "1": 84, "-1": 16, "-2": 2.5, "-3": 0.15 }[ Z1 ] { "3": 99.85, "2": 97.5, "1": 84, "-1": 16, "-2": 2.5, "-3": 0.15 }[ Z2 ] TOTAL2 - TOTAL1

Schätze die Wahrscheinlichkeit, dass ein ANIMAL zwischen localeToFixed(roundTo( 1, MEAN + STDDEV * Z1 ),-1) und localeToFixed(roundTo( 1, MEAN + STDDEV * Z2 ),-1) Jahren lebt.

AREA / 100

graph.zLine[ -3 ].attr({ stroke: "#bbb" }); graph.zLine[ 3 ].attr({ stroke: "#bbb" }); graph.zLabel[ -3 ].css({ color: "#bbb" }); graph.zLabel[ 3 ].css({ color: "#bbb" }); $( "#zm3Hint" ).parent().removeClass( "hint_pink" ); $( "#zp3Hint" ).parent().removeClass( "hint_pink" ); graph.zLine[ Z1 ].attr({ stroke: PINK }); graph.zLabel[ Z1 ].css({ color: PINK }); graph.zLine[ Z2 ].attr({ stroke: PINK }); graph.zLabel[ Z2 ].css({ color: PINK }); style({ stroke: PINK, fill: PINK, arrows: "" }, function() { line( [ MEAN + STDDEV * Z2, -1 ], [ MEAN + STDDEV * Z1, -1 ] ); ellipse( [ MEAN + STDDEV * Z2, -1 ], [ 3 / ( 600 / ( STDDEV * 7 ) ), 3 / 40 ] ); ellipse( [ MEAN + STDDEV * Z1, -1 ], [ 3 / ( 600 / ( STDDEV * 7 ) ), 3 / 40 ] ); });

Wir wollen wissen wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass ein ANIMAL zwischen \pink{localeToFixed(roundTo( 1, MEAN + STDDEV * Z1 ),-1)} und \pink{localeToFixed(roundTo( 1, MEAN + STDDEV * Z2 ),-1)} Jahren lebt.

Die 68-95-99,7-Regel sagt uns, dass \color{green}{localeToFixed(EMPIRICAL1,-1)\%} der ANIMALS eine Lebenserwartung haben, die innerhalb von abs( Z_MAX ) Standardabweichung des Erwartungswerts fälltStandardabweichungen des Erwartungswerts fallen.

label([ MEAN, graph.pdf( MEAN - STDDEV * Z_MIN ) -0.3 ], EMPIRICAL2 + "\\%", "above", { color: "green" } ); style({ arrows: "->", stroke: "green" }, function() { line([ MEAN, graph.pdf( MEAN - STDDEV * Z_MIN ) -0.1 ], [ MEAN + STDDEV * Z_MIN, graph.pdf( MEAN + STDDEV * Z_MIN ) -0.1 ]); line([ MEAN, graph.pdf( MEAN + STDDEV * Z_MIN ) -0.1 ], [ MEAN - STDDEV * Z_MIN, graph.pdf( MEAN - STDDEV * Z_MIN ) -0.1 ]); }); label([ MEAN + STDDEV * ( ( Z_MIN + Z_MAX ) / 2 ), graph.pdf( MEAN - STDDEV * Z_MIN ) -0.3 ], roundTo( 2, ( ( EMPIRICAL1 - EMPIRICAL2 ) / 2 ) ) + "\\%", "above", { color: "orange" } ); label([ MEAN - STDDEV * ( ( Z_MIN + Z_MAX ) / 2 ), graph.pdf( MEAN - STDDEV * Z_MIN ) -0.3 ], roundTo( 2, ( ( EMPIRICAL1 - EMPIRICAL2 ) / 2 ) ) + "\\%", "above", { color: "orange" } ); style({ arrows: "->", stroke: "orange" }, function() { line([ MEAN + STDDEV * ( ( Z_MIN + Z_MAX ) / 2 ), graph.pdf( MEAN - STDDEV * Z_MIN ) -0.1 ], [ MEAN + STDDEV * Z_MIN, graph.pdf( MEAN + STDDEV * Z_MIN ) -0.1 ]); line([ MEAN + STDDEV * ( ( Z_MIN + Z_MAX ) / 2 ), graph.pdf( MEAN - STDDEV * Z_MIN ) -0.1 ], [ MEAN + STDDEV * Z_MAX, graph.pdf( MEAN + STDDEV * Z_MIN ) -0.1 ]); line([ MEAN - STDDEV * ( ( Z_MIN + Z_MAX ) / 2 ), graph.pdf( MEAN + STDDEV * Z_MIN ) -0.1 ], [ MEAN - STDDEV * Z_MIN, graph.pdf( MEAN - STDDEV * Z_MIN ) -0.1 ]); line([ MEAN - STDDEV * ( ( Z_MIN + Z_MAX ) / 2 ), graph.pdf( MEAN + STDDEV * Z_MIN ) -0.1 ], [ MEAN - STDDEV * Z_MAX, graph.pdf( MEAN - STDDEV * Z_MIN ) -0.1 ]); });

Die Regel sagt uns auch, dass \color{green}{localeToFixed(EMPIRICAL2,-1)\%} der ANIMALS eine Lebenserwartung haben werden, die innerhalb von localeToFixed(Z_MIN,-1) StandardabweichungStandardabweichungen des Erwartungswerts fallen. Das lässt localeToFixed(EMPIRICAL1,-1)\% - localeToFixed(EMPIRICAL2,-1)\% = localeToFixed(roundTo( 2, EMPIRICAL1 - EMPIRICAL2 ),-1)\% der ANIMALS zwischen localeToFixed(Z_MIN,-1) und localeToFixed(Z_MAX,-1) StandardabweichungStandardabweichungen des Erwartungswerts oder localeToFixed(roundTo( 2, ( EMPIRICAL1 - EMPIRICAL2 ) / 2 ),-1)\% auf beiden Seiten der Verteilungsfunktion.

Die Wahrscheinlichkeit das ein bestimmter ANIMAL zwischen localeToFixed(roundTo( 1, MEAN + STDDEV * Z1 ),-1) und localeToFixed(roundTo( 1, MEAN + STDDEV * Z2 ),-1) Jahren lebt ist \color{orange}{localeToFixed(roundTo( 2, ( EMPIRICAL1 - EMPIRICAL2 ) / 2 ),-1)\%}. \color{orange}{localeToFixed(roundTo( 2, ( EMPIRICAL1 - EMPIRICAL2 ) / 2 ),-1)\%} + \color{green}{localeToFixed(EMPIRICAL2,-1)\%}, oder localeToFixed(roundTo( 2, AREA ),-1)\%.

Die Wahrscheinlichkeit das ein bestimmter ANIMAL zwischen \pink{localeToFixed(roundTo( 1, MEAN + STDDEV * Z1 ),-1)} und \pink{localeToFixed(roundTo( 1, MEAN + STDDEV * Z2 ),-1)} Jahren lebt ist \orange{localeToFixed(roundTo( 2, ( EMPIRICAL1 - EMPIRICAL2 ) / 2 ),-1)\%}. \color{green}{localeToFixed(EMPIRICAL2,-1)\%} + \color{orange}{localeToFixed(roundTo( 2, ( EMPIRICAL1 - EMPIRICAL2 ) / 2 ),-1)\%}, oder localeToFixed(roundTo( 2, AREA ),-1)\%.

Die Wahrscheinlichkeit das ein bestimmter ANIMAL zwischen \pink{localeToFixed(roundTo( 1, MEAN + STDDEV * Z1 ),-1)} und \pink{localeToFixed(roundTo( 1, MEAN + STDDEV * Z2 ),-1)} Jahren lebt ist \color{green}{localeToFixed(roundTo( 2, AREA ),-1)\%}.