Zufallsvariablen

In der Regel ist es der Zweck eines Zufallsexperiments oder einer Beobachtung, Daten, die durch Messungen bestimmt werden, zu erhalten. So werden beispielsweise die Menge an Niederschlag oder die Temperatur gemessen, um später Aussagen über zukünftige Wetterbedingungen zu machen. Zufallsvariablen (auch Zufallsgrößen genannt) ordnen jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl zu.

Definition

Eine Variable X ist eine Zufallsvariable, wenn der Wert, den X annimmt, von dem Ausgang eines Zufallsexperiments abhängt. Eine Zufallsvariable ordnet jedem Ergebniss eines Zufallsexperiments einen numerischen Wert zu.

Zufallsvariablen werden meist mit Großbuchstaben geschrieben.

Zufallsvariablen sind daher Funktionen, die jedem Ergebnis eine (reelle) Zahl zuordnen. Sie haben also nicht direkt etwas mit Zufall zu tun. Da nun Ergebnisse durch Zahlen repräsentiert werden, kann mit ihnen gerechnet werden.

Diskrete Zufallsvariable

Eine diskrete Zufallsvariable kann nur bestimmte Werte annehmen. So können dem Ausgang eines Münzwurfs nur die Werte „Kopf“ oder „Zahl“ zugeordnet werden. Da nur diese beiden Ausgänge x zugeordnet werden können, spricht man von einer diskreten Zufallsvariable. Weitere Beispiele für diskrete Zufallsvariablen sind:

Die Anzahl der Tore eines Fußballspielers
Die Anzahl der Bewohner eines Dorfs

Die Anzahl der Schüler, die an einen gegebenen Tag anwesend sind

Stetige Zufallsvariablen

Eine Zufallsvariable wird stetig genannt, wenn sie alle Werte annehmen kann, die für sie möglich sind. Wie bei einer stetigen Funktion auch, sind keine Lücken vorhanden. Nehmen wir beispielsweise an, dass in einer Stadt Temperaturen zwischen 20° und 35° Grad gemessen wurden. Wir definieren den Bereich also zwischen 20° und 35° Grad. Unsere stetige Zufallsvariable kann jeden Wert zwischen 20° und 35° annehmen. Würde man dies als Zahlenstrahl schreiben, so gäbe es keine Unterbrechungen. Das Gegenteil einer stetigen Zufallsvariablen ist eine diskrete Zufallsvariable.

Weitere Beispiele für stetige Zufallsvariablen sind:

Die Körpergröße eines Geschlechts
Die tägliche Regenmenge in München
Die Höhe eines Heißluftballons

Zufallsvariablen definieren

Extensionale Definition von Zufallsvariablen

Zufallsvariablen definieren Variablen, die nur eine begrenzte Anzahl an Ausprägungen haben, können extentional definiert werden. Bei der extentionalen Definition werden alle möglichen Messwerte und ihre zugehörigen numerischen Zuordnungen aufgezählt. Die numerische Zuordnung kann dabei beliebig sein. Die Realisationen hingegen beginnen in ihrem Index immer bei 1.

Rechts befindet sich die allgemeine Form zur extentionalen Definition von Zufallsvariablen.

Intentionale Definition von Zufallsvariablen

\( \LARGE{ \Large X = \mathbb{R}^+ } \)

Zufallsvariablen werden intentional definiert wenn die Zufallsvariable zu viele mögliche Ausprägungen besitzt um aufgelistet zu werden. Dies ist meistens der Fall bei stetigen Zufallsvariablen. Im Beispiel rechts wurde eine Zufallsvariable definiert, deren Ausprägung eine positive reele Zahl ist.

Stetige Zufallsvariable in diskrete überführen

\( X(\omega) = \begin{cases}0, & \text{wenn } \omega < 0^\circ, \\ 1, & \text{wenn } 0^\circ \leq \omega < 10^\circ, \\ 2, & \text{wenn } 10^\circ \leq \omega < 20^\circ, \\ 3, & \text{wenn } 20^\circ \leq \omega < 30^\circ, \\ 4, & \text{wenn } \omega \geq 30^\circ \\ \end{cases} \)

Temperatur, aus dem Beispiel oben, wäre eine stetige Zufallsvariable. Es kann aber auch von Vorteil sein, mit einer diskreten Variablen statt einer stetigen zu arbeiten. Dazu können stetige Zufallsvariablen in diskrete überführt werden. Ein Beispiel dafür wäre, wenn wir die Temperatur ω messen würden, und gemäß der Definition der Zufallsvariablen (rechts) in einen diskreten Wert überführen. Würde also unser Messwert 25,758°C lauten, so hätte unsere Zufallsvariable den Wert 3.