Mittel, Durchschnitt und Lageparameter

Auch wenn wir bei dem Begriff Mittel sofort an das arithmetisches Mittel denken, gibt es noch viele weitere Mittel, die je nach Aufgabe wesentlich genauere Resultate liefern können. In der Stochastik wird auch oft der Begriff Lageparameter für den Durchschnitt verwendet.

Arithmetisches Mittel

\( \large{ \displaystyle\bar{x}\;=\;\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} a_i } \)

Das arithmetische Mittel ist das Mittel, an das die meisten Menschen denken, wenn sie den Durchschnitt berechnen sollen. Es ist das gebräuchlichste und liefert in vielen Alltagssituationen brauchbare Ergebnisse. Wie man an der Formel mit der Summenschreibweise sehen kann, ist das arithmetische Mittel die Summe aller Zahlen geteilt durch deren Anzahl. Meist wird ein Strich über dem Buchstaben geschrieben, um anzuzeigen, dass das arithmetische Mittel berechnet wurde.

Generell sollte man das arithmetische Mittel nicht nehmen, wenn man folgende Dinge berechnen will:

Werte mit einer hohen Standardabweichung, also Werte, die weit auseinander liegen.
Raten, wie beispielsweise Änderungsraten aber auch Geschwindigkeiten. Viele physikalischen Werte, die in der Schule oft mit dem arithmetische Mittel aus Bequemlichkeit berechnet werden, sollten eher mit anderen Verfahren bestimmt werden.

Den Durchschnitt von Durchschnittswerten. Hat man bereits mehrere Mittel ermittelt, eignet sich das arithmetische Mittel nur bedingt, um aus diesen Werten wiederum einen Durchschnittswert zu berechnen.

Median

\( \large{ \tilde x =\begin{cases}x_\frac{n+1}{2} & n\text{ ungerade}\\ \frac 12\left(x_{\frac n2} + x_{\frac n2 + 1}\right) & n \text{ gerade.}\end{cases} } \)

Der Median oder Zentralwert wird vor allem dann eingesetzt, wenn man einen realistischen Durchschnitt für Werte berechnen will, die weit auseinander divergieren, also für Daten mit einer hohen Streuung. Dies ist zum Beispiel beim Einkommen der Fall. Viele Menschen verdienen in etwa gleich viel. Aber es gibt auch einige, die sehr viel und einige die sehr wenig verdienen. Würde man das arithmetische Mittel benutzen, um das Einkommen von einer Million Menschen zu berechnen, von denen ein einziger 1 Milliarde verdient und der Rest gar nichts, dann hätten wir mit dem arithmetische Mittel ein Durchschnittseinkommen von 1.000 Euro pro Kopf. Dies ist aber nicht realistisch. Der Durchschnitt für diese Bevölkerungsgruppe muss viel näher an 0 oder sogar gleich 0 sein. Deshalb verwendet man meistens das Medianeinkommen, da dies realitätsnah ist.

Beim Median werden alle Werte, von klein nach groß geordnet, aufgelistet. Der Median ist der Wert, der genau in der Mitte liegt. Wie man aber anhand der Formel sehen kann, wird der Median unterschiedlich berechnet, je nachdem, ob die Anzahl der Werte in der Liste eine gerade oder eine ungerade Zahl ergeben. Bei einer ungeraden Zahl ist die Berechnung einfach: man nimmt einfach den Wert, der in der Mitte liegt:

\( 1,\quad 3,\quad \ubrace[\text{Median = }5]{5,}\quad 7,\quad 9 \)

Schwieriger wird es, wenn n gerade ist. Dann wird der Median durch das arithmetische Mittel von zwei Werten berechnet:

\( 1,\quad 3,\quad \ubrace[\text{Median = }\frac{5+7}{2} = 6]{5,\quad 7,}\quad 9,\quad 11 \)

Modus

Der Modus ist der Wert, der am häufigsten in einer Häufigkeitsverteilung vorkommt. Der Modus ist ein spezieller Wert und wird nicht sehr häufig zur mathematischen Berechnung herangezogen. Dafür taucht er relativ häufig im Alltag auf. So könnte man sich fragen, welcher Familienname in Deutschland am häufigsten vorkommt. Diese Frage kann der Modus beantworten. Es kann auch vorkommen, dass in einer Häufigkeitsverteilung mehrere Werte gleich häufig vorkommen. Dann gibt es zwei oder mehr Modi (Plural von Modus).

Geometrisches Mittel

\( \large{ \bigg(\prod_{i=1}^n a_i \bigg)^{\tfrac{1}{n}} = \sqrt[n]{a_1\;\cdot\; a_2\;\cdot\; \ldots \;\cdot\; a_n} } \)

Das geometrische Mittel ist dem arithmetischen Durchschnitt vorzuziehen, wenn es darum geht, proportionales Wachstum zu berechnen – sowohl exponentielles Wachstum als auch lineares Wachstum. Auch Prozente werden vorzugsweise mit diesem Verfahren gemittelt.

Ist beispielsweise die Wachstumsrate einer Aktie für fünf Jahre im ersten Jahr 5%, im zweiten 7%, im dritten 9 % im vierten 12% und im fünften 11%, dann wäre das geometrische Mittel

\( \sqrt[5]{1{,}05 \,\cdot\, 1{,}07 \,\cdot\, 1{,}09 \,\cdot\, 1{,}12 \,\cdot\, 1{,}11} \;\approx\; 1{,}088 \;=\; 8{,}8% \)

Harmonisches Mittel

\( \large{ \displaystyle H \;=\; \frac{ n }{ \frac{ 1 }{ x_1 } + \frac{ 1 }{ x_2 } + \cdots + \frac{ 1 }{ x_n } } \;=\; \frac{ n }{ \sum_{ i = 1 }^n \frac{ 1 }{ x_i } } \;=\; \frac{ n \cdot \prod_{ j = 1 }^n x_j }{ \sum_{ i = 1 }^n \frac{ \prod_{ j = 1 }^n x_j }{ x_i } } } \)

Die Berechnung des harmonischen Mittels ist die komplizierteste von allen hier vorgestellten Mitteln. Hat man es mit Änderungsraten, wie beispielsweise Geschwindigkeiten zu tun, liefert das harmonische Mittel aussagekräftigere Werte. Das harmonische Mittel findet sich daher vor allem in der Physik wieder.

Fährt man beispielsweise mit 70 km/h 50 Kilometer weit und dann mit 100 km/h weitere 120 Kilometer, dann wäre das harmonische Mittel unserer Geschwindigkeit:

\( \displaystyle \;=\; \frac{50\mathrm{km}+120\mathrm{km}}{\frac{50\mathrm{km}}{70\mathrm{km/h}}+ \frac{120\mathrm{km}}{100\mathrm{km/h}} } \;=\; \frac{170\mathrm{km}}{\frac{67}{35}\mathrm{h}} \;\approx\; 88{,}81 \mathrm{\tfrac{km}{h}} \)