Gegenereignis

Gegenereignis dargestellt mit einem Mengendiagramm Das Gegenereignis zu einem Ereignis A enthält alle Elemente, die nicht Teil von A sind. Man kann auch sagen, dass das Gegenereignis A genau dann eintritt, wenn das Ereignis A nicht eintritt. Ereignis und Gegenereignis schließen sich daher gegenseitig aus. Alle Elemente des Ereignisses und seines Gegenereignisses zusammen ergeben die Menge des Ergebnisraums Ω.

Das Bestimmen von Gegenereignissen wird vor allem mit Aufgaben aus dem sprachlich-logischen Bereich verbunden. Besonders Aufgaben mit den Begriffen „mindestens“ und „höchstens“ bereiten vielen Probleme.

Definition

Sei A ein Ereignis, dann gilt für das Gegenereignis A (gesprochen „A quer“):

\( \Large{ \begin{align} \Omega \setminus A \;&=\; \overline{A} \\ A\cup \overline{A}\;&=\;\Omega \;=\; 1 \end{align} } \)

Beispiel: Würfel

Nehmen wir als Beispiel, das Werfen eines Würfels. Der Ergebnisraum ist hierbei:

Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}

Wir können also eine Zahl zwischen 1 und 6 werfen. Das Ereignis A, dass es sich bei dieser Zahl um eine gerade Zahl handelt, lautet: A = {2; 4; 6}. Das entsprechende Gegenereignis umfasst alle Elemente die sich in Ω befinden, aber nicht in A: A = {1; 3; 5}.

Schlagwörter für Ereignisse und ihre Gegenereignisse

Da auch die Stochastik als Zweig der Mathematik eine präzise Wissenschaft ist, ist die Formulierung entscheidend für das Verständnis und die Beantwortung der Frage. In der Tabelle unterhalb befinden sich häufig benutzte Formulierungen für ein Ereignis, sowie die entsprechende Formulierung für das Gegenereignis.

Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass sich immer fünf Elemente in der Ergebnismenge befinden. Wir betrachten auch nur die Kombinationen, nicht die Permutationen.

	Ereignis	Gegenereignis
A	kein Apfel ist rot	mindestens ein Apfel ist rot
B	höchstens 3 Treffer	mindestens 4 Treffer
C	mindestens 2 Autos wurden gestohlen	höchstens 1 Auto wurde gestohlen (= eins oder keins)
D	exakt 3 aus 5 Handys sind Smartphones	kein, 1, 2, 4 oder 5 Handys sind Smartphones

\( \large{ \Omega =\left\{\begin{matrix}\left.\begin{matrix}\textup{{\color{black} NNNNN}}\\ \end{matrix}\right\} = A \\ \left.\begin{matrix}\textup{{\color{DarkGreen} N}{\color{highlight} RRRR}}\\ \textup{{\color{DarkGreen} NN}{\color{highlight} RRR}}\\ \textup{{\color{DarkGreen} NNN}{\color{highlight} RR}}\\ \textup{{\color{DarkGreen} NNNN}{\color{highlight} R}}\\ \textup{{\color{highlight} RRRRR}}\\ \end{matrix}\right\} = \overline{A}\end{matrix}\right. } \)

\( \large{ \Omega =\left\{\begin{matrix}\left.\begin{matrix}\textup{{\color{highlight} VVVVV}}\\ \textup{T{\color{highlight} VVVV}}\\ \textup{TT{\color{highlight} VVV}}\\ \textup{TTT{\color{highlight} VV}}\\ \end{matrix}\right\} = B \\ \left.\begin{matrix}\textup{TTTT{\color{highlight} V}}\\ \textup{TTTTT}\\ \end{matrix}\right\} = \overline{B}\end{matrix}\right. } \)

\( \large{ \Omega =\left\{\begin{matrix}\left.\begin{matrix}\textup{{\color{highlight} GGGGG}} \\ \textup{{\color{highlight} GGGG}N}\\ \textup{{\color{highlight} GGG}NN}\\ \textup{{\color{highlight} GG}NNN}\\ \end{matrix}\right\} = C \\ \left.\begin{matrix}\textup{{\color{highlight} G}NNNN}\\ \textup{NNNNN}\\ \end{matrix}\right\} = \overline{C}\end{matrix}\right. } \)

\( \large{ \Omega =\left\{\begin{matrix}\left.\begin{matrix}\textup{{\color{highlight} S\,S\,S\,}NN} \\ \end{matrix}\right\} = D \\ \left.\begin{matrix}\textup{NNNNN}\\ \textup{{\color{highlight} S\,}NNNN}\\ \textup{{\color{highlight} S\,S\,}NNN}\\ \textup{{\color{highlight} S\,S\,S\,S\,}N}\\ \textup{{\color{highlight} S\,S\,S\,S\,S\,}}\\ \end{matrix}\right\} = \overline{D}\end{matrix}\right. } \)


R = roter Apfel; N = nicht-roter Apfel	T = Treffer; V = verfehlt	G = gestohlen; N = nicht gestohlen	S = Smartphone; N = kein Smartphone