Online-Rechner: Fläche eines Kreises berechnen
Die Berechnung des Flächeninhalts eines Kreises ist ein grundlegendes Konzept in der Geometrie und für eine Vielzahl von Anwendungen in der Praxis, wie z. B. im Ingenieurwesen, in der Architektur und im Design, unerlässlich. Die Formel für die Ermittlung der Fläche eines Kreises ist auf elegante Weise einfach, aber sie verkörpert eine tiefgreifende Verbindung zwischen Längen- und Flächenmaßen. Die Fläche eines Kreises wird ganz einfach berechnet, indem man den Radius, also den Abstand zwischen dem Mittelpunkt des Kreises und einem beliebigen Punkt an seinem Rand, quadriert und mit der mathematischen Konstante π (pi) multipliziert. Diese beträgt ungefähr 3,14159. Als Gleichung ausgedrückt lautet die Formel: \( A = \pi r^2 \), wobei A für die Fläche des Kreises und r für seinen Radius steht. Unser Rechner ermittelt die Fläche eines Kreises zusammen mit dem Schritt-für-Schritt-Rechenweg.
Die Fläche A eines Kreises mit Radius r ist durch die Formel (unten) gegeben:
Hier steht π (Pi) für die Kreiszahl, die ungefähr 3.14159 beträgt, und r ist der Radius des Kreises.
Grundlagen: Kreise
Bevor wir uns in die mathematischen Details vertiefen, möchten wir die grundlegende Idee eines Kreises verstehen.
Was ist ein Kreis?
Ein Kreis ist eine flache, geschlossene Kurve, bei der jeder Punkt auf der Begrenzung gleich weit vom Mittelpunkt entfernt ist. Man kann es sich so vorstellen: Eine Linie von gleichbleibender Länge geht immer vom Mittelpunkt aus. Das Wort Kreis leitet sich vom griechischen κίρκος/κύκλος (kirkos/kuklos) ab, das wiederum eine Umschreibung des homerischen griechischen κρίκος (krikos) ist und soviel wie „Reifen“ oder „Ring“ bedeutet. Die Ursprünge der Wörter Zirkus und Zirkel sind ebenfalls eng miteinander verwandt.
Es ist allerdings wichtig, zwischen „Kreis“ und „Kreisscheibe“ zu unterscheiden. Während der Kreis nur die Begrenzung beschreibt, umfasst die Kreisscheibe den gesamten vom Kreis umschlossenen Bereich. Meist verwenden wir im Alltag allerdings beide Worte gleich.
Wesentliche Kreis-Terminologien
Wenn wir uns mit Kreisen beschäftigen, sollten wir einige Begriffe kennen:
- Umfang: Die gesamte Strecke um den Kreis.
- Radius: Eine gerade Linie vom Mittelpunkt zum Rand des Kreises.
- Durchmesser: Eine Linie, die den Kreis durch seinen Mittelpunkt schneidet.
- Sehne: Ein Liniensegment, dessen Endpunkte auf dem Kreis liegen.
Ein tieferes Verständnis erfordert auch die Kenntnis von Begriffen wie Bogen, Sekante und Tangente, aber für den Anfang reichen die obigen Definitionen.
Besondere Merkmale von Kreisen
Kreise sind durch besondere Eigenschaften charakterisiert:
- Maximaler Flächeninhalt bei gegebenem Umfang: Keine andere geometrische Form hat bei gleichem Umfang einen größeren Flächeninhalt als der Kreis.
- Perfekte Symmetrie: Jede Linie, die durch den Mittelpunkt des Kreises geht, teilt ihn symmetrisch.
- Unverwechselbare Konstruktion: Mit drei nicht in einer Linie liegenden Punkten lässt sich genau ein Kreis konstruieren.
Kreis-Formeln
Die essentiellen Formeln zur Kreisberechnung sind die folgenden, die wir auch für die Berechnungen in unserem Rechner verwenden:
Fläche des Kreises (A)
Umfang (U) des Kreises
Durchmesser des Kreises
Umfang (U)
Um den Umfang U zu bestimmen:
Bei bekanntem Radius (r) oder Durchmesser (D):
\( U = 2\cdot\pi \cdot r \)
\( U = \pi \cdot D \)Wenn weder Radius noch Durchmesser bekannt sind:
\( U = 2\cdot\sqrt{\pi \cdot A} \)
Durchmesser (D)
Um den Durchmesser D zu bestimmen:
Bei bekanntem Radius (r):
\( D = 2\cdot r \)Bei unbekanntem Radius und Fläche (A):
\( D = \dfrac{U}{\pi} \)Bei unbekanntem Radius und Umfang (U):
\( U = 2\cdot\dfrac{A}{\pi} \)
Fläche (A)
Um die Fläche zu bestimmen:
Bei bekanntem Radius (r) oder Durchmesser (D):
\( A = \pi \cdot r^2 \)\( A = \pi \cdot \left( \dfrac{D}{2} \right)^2 \)Wenn Radius und Durchmesser unbekannt sind:
\( A = \dfrac{U^2}{4\pi} \)
Radius (r)
Um den Radius zu bestimmen:
Bei bekanntem Durchmesser (D):
\( r = \dfrac{D}{2} \)Bei unbekanntem Durchmesser und Fläche (A):
\( r = \sqrt{\dfrac{A}{\pi}} \)Bei unbekanntem Durchmesser und Umfang (C):
\( U = 2\cdot\pi \cdot r \)
Einführung in den Einheitskreis
Ein Einheitskreis hat einen Radius von genau einer Einheit und ist normalerweise im Koordinatenursprung (0, 0) zentriert. Üblicherweise wird er so dargestellt, dass sein Mittelpunkt im Koordinatenursprung (0,0) eines kartesischen Koordinatensystems liegt. Der Einheitskreis spielt eine wichtige Rolle bei der Definition der Sinus- und Kosinusfunktionen.
Der Satz des Pythagoras lässt sich für einen Punkt (x, y) auf dem Einheitskreis wie folgt formulieren:
Dabei entsprechen x und y den trigonometrischen Funktionen Kosinus und Sinus:
Dies führt zur bekannten trigonometrischen Identität:
Der Einheitskreis bildet das Fundament vieler trigonometrischer Berechnungen.
Lokalisierung des Kreismittelpunkts
Um den Mittelpunkt eines Kreises zu bestimmen:
- Wählen Sie einen Punkt auf dem Kreis.
- Richten Sie mithilfe eines rechtwinkligen Objekts einen rechten Winkel auf den gewählten Punkt aus.
- Zeichnen Sie zwei rechtwinklige Linien, die den Kreis schneiden.
- Ziehen Sie eine Linie durch die beiden Schnittpunkte, um den Durchmesser zu ermitteln.
- Der Mittelpunkt des Kreises ist der Schnittpunkt der beiden Durchmesser.
Die Kreiszahl Pi (π)
Pi (π) ist eine fundamentale mathematische Konstante, die das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser repräsentiert. Pi ist irrational und hat eine unendliche, nicht wiederholende Dezimalentwicklung.
Schon gewusst?
- Der „Pi-Tag“ wird am 14. März (3/14 im US-Datumsformat) gefeiert, da die ersten drei Ziffern von Pi 3,14 sind.
- Die ersten 50 Stellen von Pi sind: 3.1415926535897
932384626433832795 0288419716939937510.