Online-Rechner: Fläche eines Fünfecks berechnen
Mit diesem Rechner können Seitenlänge, Umfang, Radius, Apotem und natürlich die Fläche eines Fünfecks (auch Pentagon genannt) berechnet werden. Das besondere an diesem Rechner ist, dass nur einer dieser Fünf Werte angegeben werden muss und der Rechner berechnet automatisch die anderen. In diesem Artikel gehen wir auch noch auf die Mathematik und die Formeln zur Berechnung ein.
Die Fläche A eines Fünfecks mit der Seitenlänge s ist durch die Formel (unten) gegeben:
wobei s die Seitenlänge des Fünfecks ist.
Wichtige Begriffe für Fünfecke
- Seitenlänge: Ein regelmäßiges Fünfeck hat fünf gerade Seiten von gleicher Länge. Die Seiten bilden das Gerüst der Form und bestimmen ihren Umfang.
- Innenwinkel: In einem regelmäßigen Fünfeck misst jeder Innenwinkel 108 Grad, so dass sich für alle fünf Winkel insgesamt 540 Grad ergeben.
- Umfang: Dies ist der Gesamtabstand um die Außenseite des Fünfecks, der durch Addition der Längen der fünf Seiten berechnet wird.
- Fläche: Der gesamte Raum, der von den fünf Seiten eines Fünfecks umschlossen wird. Für ein regelmäßiges Fünfeck kann die Fläche mit Hilfe spezieller Formeln auf der Grundlage der Seitenlänge, des Apothemas oder des Radius berechnet werden.
- Radius (Circumradius): Bei einem regelmäßigen Fünfeck ist dies der Abstand zwischen dem Mittelpunkt und einem beliebigen Scheitelpunkt. Das Fünfeck ist in einen Kreis eingeschrieben, und der Radius ist für alle Scheitelpunkte gleich.
- Apothem (Inradius): Dies ist der Abstand zwischen dem Mittelpunkt des Fünfecks und dem Mittelpunkt einer beliebigen Seite. Der Apothemus steht senkrecht zur Seite und ist der Radius des Kreises, der in das Fünfeck eingeschrieben ist.
Fünfecks-Formeln
Berechnung der Fläche A
Bei bekannter Seitenlänge s:
\( A = \frac{5 \cdot s^{2}}{4 \cdot \sqrt{5 – 2 \cdot \sqrt{5}}} \)Bei bekanntem Umfang U:
\( A = \frac{U^{2}}{20 \cdot \sqrt{5 – 2 \cdot \sqrt{5}}} \)Bei bekanntem Radius r:
\( A = \frac{5 \cdot r^{2} \cdot \left(5 – \sqrt{5}\right)}{8 \cdot \sqrt{5 – 2 \cdot \sqrt{5}}} \)Bei bekanntem Apothem a:
\( A = 5 \cdot a^{2} \cdot \sqrt{5 – 2 \cdot \sqrt{5}} \)
Berechnung der Seitenlänge s
Bei bekanntem Umfang U:
\( s = \frac{U}{5} \)Bei bekannter Fläche A:
\( s = \frac{2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{A} \cdot \sqrt[4]{5 – 2 \cdot \sqrt{5}}}{5} \)Bei bekanntem Radius r:
\( s = 2 \cdot r \cdot \sqrt{\frac{5}{8} – \frac{\sqrt{5}}{8}} \)Bei bekanntem Apothem a:
\( s = 2 \cdot a \cdot \sqrt{5 – 2 \cdot \sqrt{5}} \)
Berechnung des Umfangs U
Bei bekannter Seitenlänge s:
\( U = 5 \cdot s \)Bei bekanntem Fläche A:
\( U = 2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{A} \cdot \sqrt[4]{5 – 2 \cdot \sqrt{5}} \)Bei bekanntem Radius r:
\( U = 10 \cdot r \cdot \sqrt{\frac{5}{8} – \frac{\sqrt{5}}{8}} \)Bei bekanntem Apothem a:
\( U = 10 \cdot a \cdot \sqrt{5 – 2 \cdot \sqrt{5}} \)
Berechnung des Radius r
Bei bekannter Seitenlänge s:
\( r = \frac{s}{2 \cdot \sqrt{\frac{5}{8} – \frac{\sqrt{5}}{8}}} \)Bei bekanntem Umfang U:
\( r = \frac{U}{10 \cdot \sqrt{\frac{5}{8} – \frac{\sqrt{5}}{8}}} \)Bei bekanntem Fläche A:
\( r = \frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{A} \cdot \sqrt[4]{5 – 2 \cdot \sqrt{5}}}{5 \cdot \sqrt{\frac{5}{8} – \frac{\sqrt{5}}{8}}} \)Bei bekanntem Apothem a:
\( r = – a + \sqrt{5} \cdot a \)
Bei bekanntem Apothem a
Bei bekanntem Seitenlänge s:
\( a = \frac{s \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot \sqrt{5}}{5} + 1}}{2} \)Bei bekanntem Umfang U:
\( a = \frac{U \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot \sqrt{5}}{5} + 1}}{10} \)Bei bekanntem Fläche A:
\( a = \frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{A}}{5 \cdot \sqrt[4]{5 – 2 \cdot \sqrt{5}}} \)Bei bekanntem Radius r:
\( a = \frac{r \cdot \left(1 + \sqrt{5}\right)}{4} \)
Fünfecke in der Architektur
Fünfecke sind seit jeher fester Bestandteil architektonischer Konstruktionen, die sowohl für ihren geometrischen Reiz als auch für ihre Zweckmäßigkeit bekannt sind. In der Renaissance nutzten fünfeckige Festungen wie die Festung Bourtange in den Niederlanden und die Zitadelle von Jaca in Spanien diese Form für strategische Verteidigungszwecke, da sie bessere Sichtlinien und weniger tote Winkel für Angreifer bot. Dieses Designmotiv findet sich auch im Pentagon in Washington, D.C., dem ikonischen Hauptquartier des US-Verteidigungsministeriums, das symbolische Repräsentation mit optimierter Bürofläche verbindet.