Trapezregel

TrapezregelDie Trapezregel ist eine Methode zur numerischen Integration, die die Fläche zwischen Funktion und x-Achse mit Trapezen berechnet. Die Trapezregel stellt in vielen Fällen eine Verbesserung gegenüber dem Riemann-Integral dar, welches die Fläche mit Rechtecken näherungsweise berechnet.

\int_{a}^{b}f(x)\,\textup{d}x \;\approx\; T_n \;=\; \frac{\Delta x}{2}\big[ f(x_0) \;+\; 2\cdot f(x_1) \;+\; \ldots \;+\; 2\cdot f(x_{n-1}) \;+\; f(x_n)\big]

wobei:

\Delta x &= \frac{b-a}{n} \\ x_i &= a+i\cdot \Delta x

Beispiel

Berechne die Fläche von f(x) = x²+3 im Integrationsintervall [-2; 3] mit n = 6 mit Hilfe der Trapezregel.

\Delta x \;&=\; \frac{b-a}{n} \;=\; \frac{3-(-2)}{6} \;=\; \frac{5}{6} \\ x_i \;&=\; -2+i\cdot\frac{5}{6}

T_6 \;&=\; \frac{\Delta x}{2} \left[  f(x_0) \;+\; 2\cdot f(x_1) \;+\; \ldots \;+\; 2\cdot f(x_{n-1}) \;+\; f(x_n)\big \right] \\[2ex] &=\; \frac{\Delta x}{2} \left[  f(-2) \;+\; 2\cdot f\br{-\frac{7}{6}} \;+\; \ldots \;+\; 2\cdot f\br{\frac{13}{6}} \;+\; f(3) \right] \\[2ex] &=\; \frac{\Delta x}{2} \left[ \frac{1177}{18} \right] \\[2ex] &=\; \frac{5885}{216} \;\approx\; 27,2454 \;\text{FE}