Riemann-Integral

Das Riemann-Integral ist eine Methode zur numerischen Integration. Da das Integral die Fläche zwischen Funktion und x-Achse ist, versucht man mit der numerischen Integration, diese Fläche mit Hilfe von Formen zu berechnen. Das Riemann-Integral tut dies mit Rechtecken.

Zerlegung in Teilintervalle (Riemann-Integral) Das Riemann-Integral ist eine Methode zur numerischen Integration. Da das Integral die Fläche zwischen Funktion und x-Achse ist, versucht man mit der numerischen Integration, diese Fläche mit Hilfe von Formen zu berechnen. Das Riemann-Integral tut dies mit Rechtecken.

Wir fangen an, indem wir das Intervall [a, b] in n gleich lange Stücke unterteilen (man muss die Stücke nicht gleich lang machen, aber der Einfachheit halber tun wir das hier). Man spricht von der Zerlegung der Länge n in Teilintervalle.

\( \begin{align} \Delta x &= \frac{b-a}{n} \\ t_n &= a+\Delta x\cdot n \end{align} \)

Daraus lässt sich schließen, dass

\( \begin{align} t_0 &= a \\ t_n &= b \end{align} \)

In dem Beispiel rechts wurde das Intervall in 4 (n = 4) gleich große Stücke zerlegt.

Obersumme

Riemann-Integral Obersumme Bei der Obersumme definiert der Wert zur rechten Seite des Rechtecks dessen Höhe. Das erste Rechteck hat damit eine Höhe von f(t₁), die Höhe des letzten Rechtecks ist f(t_n), welches f(b) entspricht.

\( O_n = f(t_1) \cdot\Delta x \;+\; f(t_2)\cdot\Delta x \;+\; \ldots \;+\; f(t_{n-1})\cdot\Delta x \;+\; \ubrace[f(t_n)]{f(b)}\cdot\Delta x \)

Mit der Summenschreibweise lässt sich dies abkürzen:

\( \large{ \displaystyle O_n = \sum_{i=1}^{n} \;f\!\!\left (t_i \right )\cdot \Delta x } \)

Sollte f(x) in dem Intervall monoton fallend sein, wird die Obersumme einen Wert liefern, der größer als der tatsächliche ist. Ist f(x) in dem Intervall hingegen monoton steigend, fällt der Wert zu niedrig aus.

Untersumme

Riemann-Integral Untersumme Die Untersumme verwendet den linken Punkt der Zerlegung um die Höhe des Rechtecks festzulegen, deshalb wird die Untersumme auch manchmal Linkssumme genannt. Somit hat das erste Rechteck eine Höhe von f(t₀), welches f(a) entspricht. Die Höhe des letzten Rechtecks ist f(t_n-1).

\( U_n = \ubrace[f(t_0)]{f(a)} \cdot\Delta x \;+\; f(t_1)\cdot\Delta x \;+\; \ldots \;+\; f(t_{n-2})\cdot\Delta x \;+\; f(t_{n-1})\cdot\Delta x \)

Auch dies lässt sich wieder mit der Summenschreibweise abkürzen:

\( \large{ \displaystyle U_n = \sum_{i=1}^{n} \;f\!\!\left (t_{i-1} \right )\cdot \Delta x } \)

Ist f(x) in dem Intervall monoton steigend, wird der mit der Untersumme berechnete Wert geringer sein als der tatsächliche. Ist f(x) dagegen auf dem Intervall monoton fallend, so wird der Wert zu hoch ausfallen.