Integration durch Substitution
Die Aufgabenbereiche von Integration durch Substitution in der Integralrechnung sind vergleichbar mit denen der Kettenregel in der Differentialrechnung. Als Faustregel kann gesagt werden: Würde man die Kettenregel benutzen, um den Term abzuleiten, muss Substitution benutzt werden, um den Term zu integrieren. Bevor wir allerdings die Substitutionsmethode erklären können, müssen noch das Differential einführen.
Differential
Eine mögliche Schreibweise für die Ableitung von f(x) ist df/dx. Auch wenn die Schreibweise eines Bruches verwendet wurde, wird df/dx nicht als Quotient zweier Werte definiert, aber als ein einziges Objekt der Ableitung. df bedeutet nicht d · f, sondern ist vielmehr die Ableitung von f(x) mal dx. Was bedeutet aber nun dx? Man benutzt diese Schreibweise am Ende von Integralen, um auszudrücken für welche Variable integriert wird. dx repräsentiert eine kleine Veränderung in x, genauso wie Δx bei den Riemann-Summen. In der Integral- und Differentialrechnung wird dieser Wert unendlich klein, man sagt auch infinitesimal.
Wir werden nun df und dx einzeln definieren, sodass der Quotient df ÷ dx gleich der Ableitung df/dx ist.
- Da sowohl \( \dfrac{df}{dx} \) als auch f'(x) das selbe ausdrücken, haben wir im ersten Schritt beide gleich gesetzt.
- Im zweiten Schritt haben wir beide Seiten mit dx multipliziert. Damit haben wir die Definition von df erhalten.
| Funktion | Differential |
|---|---|
\( f(x)=x^3 \) |
\( \mathrm{d}f=3x^2\,\mathrm{d}x \) |
\( f(x)=e^{2x} \) |
\( \mathrm{d}f=2\cdot e^{2x}\,\mathrm{d}x \) |
\( f(x)=\sinpar{x} \) |
\( \mathrm{d}f=\cospar{x}\,\mathrm{d}x \) |
Wie man sehen kann, ist das Differential gleich der Ableitung mal dx. Will man statt x nach einer anderen Variablen ableiten, beispielsweise u, so würde man du schreiben.
| Funktion | Differential |
|---|---|
\( f(u)=u^3 \) |
\( \mathrm{d}f=3u^2\,\mathrm{d}u \) |
\( g(x)=e^{2x} \) |
\( \mathrm{d}g=2\cdot e^{2x}\,\mathrm{d}x \) |
\( h(s)=\sinpar{s} \) |
\( \mathrm{d}h=\cospar{s}\,\mathrm{d}s \) |
Substitution
Mathematisch gesehen, wird die Substitutionsmethode für ein bestimmtes Integral so definiert:
Was sofort auffällt, ist die starke Ähnlichkeit mit der Kettenregel: \( (f \circ g)^{\prime}(t) = f^{\prime}(g(t))g^{\prime}(t) \). In Anlehnung an die Kettenregel kann über Integration per Substitution gesagt werden, dass sie immer dort angewendet wird, wo ein Faktor im Integranden die Ableitung eines anderen Teils des Integranden ist; im Prinzip immer dort, wo man auch die Kettenregel anwenden würde. Ist die Ableitung ein konstanter Faktor, so kann dieser aus dem Integral faktorisiert werden (siehe auch das Beispiel unten).
Substitutionsregeln
Integrale, die per Substitution gelöst werden können
Hier ein paar Integrale, die per Substitution lösbar sind. Um den Rechenweg zu sehen, einfach auf das entsprechende Integral klicken.
\( \displaystyle\int \ubrace[u^3]{\br{x^2+5}^3}\cdot \ubrace[\mathrm{d}u]{2x\vphantom{\br{x^2+5}^3}}\;\mathrm{d}x \) |
\( \displaystyle\int \dfrac{\obrace[u]{\log\br{x}}}{\ubrace[\mathrm{d}u]{x}}\;\mathrm{d}x \) |
\( \displaystyle\int \dfrac{\obrace[\mathrm{d}u]{x^2+5}}{\ubrace[u]{x^3+3x}}\;\mathrm{d}x \)
|
\( \displaystyle\int \dfrac{\obrace[\mathrm{d}u]{\tanpar{x}}}{\ubrace[u]{\cos^2\br{x}}}\;\mathrm{d}x \)
|
\( \displaystyle\int \ubrace[e^u]{e^{x^{4}}}\cdot \ubrace[\mathrm{d}u]{x^3\vphantom{e^{x^{4}}}}\;\mathrm{d}x \) |
\( \displaystyle\int \ubrace[\cospar{u}]{\cospar{x^2}}\cdot \ubrace[\mathrm{d}u]{x\vphantom{\cospar{x^2}}}\;\mathrm{d}x \) |
\( \displaystyle\int \dfrac{\obrace[\sinpar{u}]{\sinpar{\sqrt{x}}}}{\ubrace[\mathrm{d}u]{\sqrt{x}}}\;\mathrm{d}x \) |
\( \displaystyle\int \ubrace[\mathrm{d}u]{x^2\vphantom{\sqrt{x^3}}}\cdot\ubrace[\sqrt{u}]{\sqrt{x^3+1}}\;\mathrm{d}x \) |
Beispiel
Integriere:
- Müssten wir nur cos(x) integrieren, wäre dies ganz einfach. Um f(x) per Substitution zu integrieren, müssen wir eine neue Variable einführen, u. Wie der Name schon sagt, wird bei der Substitution ein Term durch einen anderen ersetzt. In unserem Beispiel ersetzen wir 6x durch u, sodass u=6x.
- Als Nächstes müssen wir u nach x ableiten. Hier kommt auch das Differential zum Einsatz:
- Das Differential aus Punkt 2. wollen wir nun nach dx auflösen. Warum? Wir werden im Integranden alle x durch u ersetzen. Damit müssen wir auch dx durch du ersetzen, damit alle Variablen wieder stimmen.
- Jetzt kommt die eigentliche Substitution. Wir substituieren \( u=6x \) und \( \mathrm{d}x = \dfrac{\mathrm{d}u}{6} \) und bekommen:
- \( \dfrac{1}{6} \) kann faktorisiert werden, da es ein konstanter Wert ist. Damit hätten wir:
- Jetzt haben wir ein Integral, welches wir problemlos integrieren können:
- Als letztes müssen wir noch Rücksubstituieren. Wir müssen daher u durch seinen ursprünglichen Wert ersetzen. In unserem Fall war das u = 6x. Damit wäre die Lösung des Integrals:
