Fläche zwischen zwei Funktionen

Das Integral wird oft als die Fläche zwischen einer Funktion und der x-Achse definiert. Man kann es aber auch verwenden, um die Fläche zwischen zwei Funktionen zu berechnen, auch wenn diese über oder unter der x-Achse liegen. Hier erzählen wir wie das geht und was man beachten muss.

Das Integral wird oft als die Fläche zwischen einer Funktion und der x-Achse definiert. Man kann es aber auch verwenden, um die Fläche zwischen zwei Funktionen zu berechnen, auch wenn diese über oder unter der x-Achse liegen.

Fläche zwischen zwei Graphen

Der einfachste Fall ist, wenn man zwei Funktionen hat, und die gesuchte Fläche nur die Fläche zwischen den beiden Schnittpunkten der Graphen ist (siehe Graph rechts). Dabei ist es egal, ob die gesuchte Fläche komplett entweder über oder unter der x-Achse ist. Auch wenn ein Teil der Funktion unterhalb der x-Achse wäre, könnten die die Fläche ebenso berechnen.

Wie wir anhand des Graphen sehen können, ist g(x) die obere und f(x) die untere Funktion.

Da die Schnittstellen der Funktion die obere und untere Grenze des Integrals bilden, müssen wir auch noch die genauen Schnittstellen berechnen. Dazu setzen wir beide Funktionen gleich. Wir erhalten dann:

Nun haben wir alle Daten, die wir brauchen, zusammen. Die Fläche zwischen den beiden Funktionen wird durch folgendes Integral berechnet:

Variante #2: Graphen schneiden sich

Wenn sich zwei Graphen schneiden, wird ab diesem Punkt die untere Funktion die obere und die oberer Funktion die untere. Würden wir dies nicht tun, so würden sich die positiven und negativen Fläche addieren und unser Flächeninhalt wäre falsch. Daher müssen wir die obere und untere Funktion miteinander vertauschen oder das Integral mit -1 multiplizieren. Wir können auch einfach den Betrag des Integrals nehmen, und die Reihenfolge von f(x) und g(x) unverändert lassen (viele Lehrer sehen das aber nicht gerne, da man sich weniger Gedanken machen muss, auch wenn es mathematisch einwandfrei ist).

Wir wollen die Fläche zwischen den Funktionen f(x) und g(x) von a nach b berechnen. Dies könne wir in vier Schritten tun:

1. Schnittstellen finden. Dazu müssen wir f(x) = g(x) setzen. Die Schnittstellen nummerieren wir von x₁ bis x_n durch.
2. Obere- und untere Funktion bestimmen. Diesen Schritt kann man auch auslassen, falls man die Integrale in Betragsstriche setzt. Bei der Berechnung der Integrale kann es vorkommen, dass ein Integral einen negativen Wert liefert. Da die Fläche allerdings immer positiv ist, müssen wir dafür sorgen, dass all unsere Teilintegrale auch nur positive Werte liefern. Dazu können wir entweder die obere und untere Funktion bestimmen und f(x) und g(x) jedes Mal vertauschen oder wir können die einzelnen Integrale einfach in Betragsstriche setzen, da der Betrag immer positiv (oder 0) ist.
3. Teilintegrale aufstellen. Jetzt, wo wir wissen an welchen Stellen sich f(x) und g(x) schneiden, müssen wir noch die Teilintegrale aufstellen und diese addieren. Die Integrale werden nach folgendem Muster aufgestellt:
   
   \( \left | \int_{a}^{x_1} f(x)-g(x)\,\mathrm{d}x \right | + \left | \int_{x_1}^{x_2} f(x)-g(x)\,\mathrm{d}x \right | + \ldots + \left | \int_{x_n}^{b} f(x)-g(x)\,\mathrm{d}x \right | \)
4. Berechnen. Zum Schluss müssen noch die einzelnen Integrale berechnet und zusammenaddiert werden. Das Ergebnis ist der Flächeninhalt zwischen den Funktionen f(x) und g(x) von a nach b. Um zu zeigen, dass es sich hierbei um eine Fläche handelt, müssen wir das Ergebnis noch mit einer Einheit versehen. Dazu nehmen wir das Kürzel „FE“ welches allgemein für „Flächeneinheiten“ steht.

Beispiel

• f(x) = x³-9 · x²+24x-16 (blau) und
• g(x) = -0,5 · x²+3 · x-2,5 (rot)

von 1 nach 4,5 berechnen.

1. Wir setzen f(x) = g(x). Die Schnittstellen sind:
   x₁ = 1,
   x₂ = 3,
   x₃ = 4,5
2. Für das Intervall [1; 3] ist f(x) die obere und g(x) die untere Funktion. Daher gilt:
   f(x) > g(x) für alle x ∈ [1; 3].
3. Mit unseren Integrationsgrenzen und den Schnittstellen der beiden Funktionen können für jetzt die entsprechenden Integrale aufstellen:
   
   \( \left | \int_{1}^{3} f(x)-g(x)\,\mathrm{d}x \right | + \left | \int_{3}^{4{,}5} f(x)-g(x)\,\mathrm{d}x \right | \)
4. Als Letztes müssen wir noch die Integrale berechnen:
   
   \( \left | \int_{1}^{3} f(x)-g(x)\,\mathrm{d}x \right | + \left | \int_{3}^{4{,}5} f(x)-g(x)\,\mathrm{d}x \right | \;\;=\;\; \dfrac{10}{3}+\dfrac{99}{64} \;\;=\;\; \dfrac{937}{192} \;\;\approx\;\; \boxed{4{,}8802\,\,\,\mathrm{FE}} \)

Fläche zwischen einem Graphen und der x-Achse

Auch die x-Achse ist eine Funktion. Sie genügt der Funktionsvorschrift f(x) = 0. Wenn man die Fläche zwischen einer Funktion und der x-Achse berechnen will, muss man vorsichtig sein, denn unterhalb der x-Achse ist das Integral negativ. Deshalb müssen zuerst, ähnlich wie in dem zweiten Beispiel, die Nullstellen der Funktion berechnet werden.

Nehmen wir an, wir wollen die Fläche der Funktion f(x) = x³ – 4x von -2 bis 2 berechnen. Zuerst setzen wir wieder die Funktion gleich Null und berechnen die Nullstellen. Diese sind x₁ = -2, x₂ = 0 und x₃ = 2. Damit können wir dann den Flächeninhalt der Funktion berechnen:

Da die Funktion punktsymmetrisch ist und der Betrag beider Integralgrenzen gleich ist, hätten wir die Fläche auch als Produkt eines einzigen Integrals schreiben können: