Wendepunkt
Wenn eine Funktion von einer Links- auf eine Rechtskurve wechselt (oder umghekeht), kann man den genauen Punkt berechnen, in dem dies geschieht. Dieser Punkt ist der Wendepunkt.
Die Bestimmung von Wendestellen und Wendepunkten ist in der Regel Teil einer Kurvendiskussion. Muss bei einer Kurvendiskussion der Graph gezeichnet werden, müssen in der Regel auch die markanten Punkte auf dem Graphen eingetragen werden. Wendepunkte werden mit einem großen „W“ angegeben. Hat die Funktion mehrere Wendepunkte, so wird eine Zahl in den Index geschrieben, um die einzelnen Punkte von einander unterscheiden zu können: W1, W2, W3, …
Wertet man finanzielle Informationen aus, dann gibt der Wendepunkt Auskunft über eine Änderung des Trends: entweder geht es für die Firma jetzt bergab, oder die Firma hat ein Tief überwunden, und schreibt wieder schwarze Zahlen.
Wendepunkt berechnen
Wenn es darum geht, die Steigung einer Funktion an einem Punkt zu berechnen, braucht man die erste Ableitung. Will man hingegen wissen, wie die Krümmung der Funktion ist, so benötigt man die zweite Ableitung.
Ein Wendepunkt muss zwei Bedingungen erfüllen: die notwendige und die hinreichende Bedingung. Die notwendige Bedingung ist die Grundvoraussetzung dafür, dass man die hinreichende Bedingung prüfen kann. Ist die notwendige Bedingung nicht erfüllt, so braucht man nicht auf die hinreichende Bedingung zu prüfen.
Um zu überprüfen, wo eine Wendestelle und damit auch ein Wendepunkt vorliegt, müssen wir zuerst die erste Ableitung bilden, und diese auf Null setzen.
Jede Stelle, welche die Bedingung erfüllt, muss weiter auf die hinreichende Bedingung geprüft werden. Dazu wird die dritte Ableitung benötigt:
Erfüllt eine Stelle x0 sowohl die hinreichende als auch die notwendige Bedingung, liegt dort eine Wendestelle vor. In der Regel ist allerdings nicht die Wendestelle, sondern der Wendepunkt gefragt. Es muss also x0 noch in die Ausgangsfunktion eingesetzt werden, nicht in eine Ableitung! Die Koordinaten des Wendepunkts wären dann bei:
