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Extremwertaufgaben

Für welche Maße hat ein Rechteck mit einem festen Umfang die größte Fläche? Wie viele Produkte müssen hergestellt werden, damit der Gewinn am größten ist? Wie muss eine Dose geformt sein, damit sie gleichzeitig am günstigsten zu produzieren ist und eine vorgegebene Menge an Flüssigkeit hält? All diese Fragen haben eines gemeinsam: sie suchen den besten, also optimalen, Wert einer Funktion.

Damit wir diese Aufgaben mathematisch lösen können, müssen wir sie erst in Gleichungen übersetzen.

Extremwertsatz nach Weierstraß

Jede reelle Funktion, die auf ein abgeschlossenes Intervall I [a; b] beschränkt ist, nimmt dort ihr absolutes Maximum bzw. Minimum an. Die Extrema können auch an den Randpunkte auftreten. Es gilt:

Ist stetig, so existieren die Stellen so dass für alle

Vorgehensweise

Das Lösen von Extremwertaufgaben kann man in fünf einzelne Schritte aufteilen:

  1. Die Aufgabe lesen. Das Wichtigste bei jeder Aufgabe. Hat man die Aufgabe nicht verstanden, so kann man sie auch nicht lösen. Fragen, die man sich stellen sollte: Was ist die Unbekannte? Welche Bedingungen wurden gestellt?
  2. Zeichnen. Oft ist es hilfreich, sich dem Problem visuell zu nähern. Dabei kann man auch gleich die gegebenen Werte eintragen.
  3. Variablen benutzen. Alle Beziehungen müssen mathematisiert werden. Zuerst schreiben wir eine Hauptbedingung für die Quantität die minimiert oder maximiert werden soll. Sollten noch Nebenbedingungen vorhanden sein, muss versucht werden, die Gleichung so umzuschreiben, dass nur noch eine einzige Variable vorhanden ist.
  4. Eine Gleichung für die Unbekannte schreiben. Wenn man kann, sollte man die Unbekannte als Funktion einer einzigen abhängigen Variablen schreiben oder als zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Meistens haben Extremwertaufgaben zwei Teile. Der erste Teil besteht aus einer Formel, die meist mehr als nur eine abhängige Variable hat. Im zweiten Teil bekommt man mehr Informationen, die sich auf den ersten Teil beziehen. Damit kann man die Formel so umschreiben, dass man nur noch eine einzige abhängige Variable hat. Dieser Schritt könnte viele Umformungen erfordern.
  5. Ableiten und Extremstellen finden. Als Letztes müssen wir noch die Funktion ableiten und die Extremstellen bestimmen, wie wir dies auch normalerweise tun würden.

Beispiel 1

Lilly hat 500m Zaun. Sie will damit die größtmögliche Fläche einzäunen. Welche Abmessungen hat der eingezäunte Bereich?

Diese Frage ist ein Klassiker. Gefragt wird, mit welchen Abmessungen ein Rechteck die größtmögliche Fläche besitzt. Wir wissen das die Fläche eines Rechtecks durch die Formel Länge l mal Breite b berechnet wird. Der Umfang eines Rechtecks ist 2(l+b). Das ist alles was wir benötigen, um die maximale Fläche zu finden.

Optimiert werden soll die Fläche A = l · b. Da dies aber eine Funktion mit zwei Variablen ist, müssen wir sie so schreiben, dass eine der beiden Variablen wegfällt. Dazu können wir die Nebenbedingung 500 = 2(l+b) benutzen. Wir können entweder nach l oder nach b auflösen, da wir in beiden Fällen eine Gleichung mit nur einer Variablen bekämen.

Nun haben wir nur noch eine Funktion mit einer einzigen Variablen. Da wir wissen wollen, für welchen x-Wert die Fläche maximal wird, müssen wir die Funktion ableiten und das Maximum bestimmen.

Nun noch die Nullstellen bestimmen...

Wir müssen noch mit der zweiten Ableitung überprüfen, ob es sich bei der Stelle um ein Minimum oder ein Maximum handelt. Da die konstante Funktion -2 die zweite Ableitung ist, und sie für alle Werte von b negativ ist, handelt es sich hierbei tatsächlich um einen Hochpunkt.

Da b = 125 und der Umfang 2(l+b) = 500 ist, können wir daraus schließen, dass l auch 125 ist.

Die Fläche wird also maximal, wenn eine quadratische Fläche eingezäunt wird. Geometrisch kann dies dadurch erklärt werden, dass ein Quadrat immer die größte Fläche bei gleichem Umfang einschließt. Sollte nach der größtmöglichen Fläche eines Quaders gefragt sein, so besitzt hier der Würfel das größte Verhältnis von Volumen zur Oberfläche aller Quader.

Beispiel 2

Ein Ingenieur wurde beauftragt, eine zylindrische Dose zu entwickeln, die ein Fassungsvermögen von genau 330ml hat. Die Dose soll dabei möglichst umweltschonend sein und die geringst mögliche Menge an Material in der Herstellung benötigen.

Im Prinzip ist diese Aufgabe ganz ähnlich der aus Beispiel 1. Wir haben eine vorgegebene Größe (die Flüssigkeitsmenge, die die Dose halten muss) und müssen einen Zylinder finden, der dies am effektivsten kann.

Das Volumen eines Zylinders, der hier unsere Dose ist, ist abhängig von den Variablen r (Radius des Zylinders) und h (Höhe des Zylinders). Wenn r und h in Zentimetern gemessen werden, können wir das Volumen in Kubikzentimetern berechnen. Damit hätten wir:

Da wir nach der "geringst möglichen Menge an Material" gefragt werden, müssen wir dafür sorgen, dass die Oberfläche möglichst klein bleibt. Die Oberfläche eines Zylinders wird mit folgender Formel berechnet:

Wir haben zwei Gleichung mit zwei Variablen. Wir benötigen aber eine Gleichung mit einer Variable. Deshalb lösen wir die Gleichung des Volumens nach einer Variablen auf und setzen diese dann in die andere ein:

Jetzt noch einsetzen:

Um Extremstellen zu finden, benötigen wir noch die erste und zweite Ableitung:

Jetzt setzen wir die 1. Ableitung gleich Null und setzen:

Da wir nach einem Minimum suchen, müssen wir diesen Wert noch in die zweite Ableitung einsetzen und schauen, ob er größer als Null ist:

Damit hätten wir bewiesen, dass es sich um ein Minimum handelt. Jetzt können wir noch die Höhe der Dose ausrechnen, indem wir den Radius in die Gleichung oben einsetzen:

Damit können wir zusammenfassen: Eine Dose mit einem Radius von ca. 3,745 cm und einer Höhe von ca. 7,490 cm hat bei einem Fassungsvermögen von 330ml die geringste Oberfläche.