Beweis für die Ableitung von asin(x)

Wir beweisen die Ableitung des Arkussinus, mit kompletter Herleitung und Erklärung.

Beweis und Erklärung

Es soll bewiesen werden, dass   \( \dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \sin^{-1}( x ) \;\;=\;\; \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)   für eine reelle Zahl x, für die gilt -1 < x < 1.

Die Aussage   \( y =  \sin^{-1}( x ) \)   impliziert, dass, wenn wir die Sinusfunktion auf beide Seiten der Gleichung anwenden, wir folgende Gleichung erhalten:   \( \sin(y) = x \).

Die Ableitung von x ist demnach   \( \dfrac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} y} \;\;=\;\; \dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} y}\sin(x) \;\;=\;\; \cos(x) \)

Der Kehrwert davon ist   \( \dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} \;\;=\;\; \dfrac{1}{\cos(x)} \)

Von der trigonometrischen Identität der gegenseitigen Darstellung wissen wir, dass   \( \cos^2 (y) + \sin^2 (y) = 1 \)

Wenn wir diese Identität nicht cos(y) lösen und die Wurzel auf beiden Seiten ziehen, erhalten wir:   \( \cos (y) = \pm \sqrt {1 – \sin^2 (y)} \)

Da cos(y) ≥ 0 auf dem Intervall   \( y\in\left [ -\dfrac{\pi}{2};\; \dfrac{\pi}{2}\right ] \)   ist, müssen wir die positive Quadratwurzel ziehen. Damit haben wir dann:   \( \cos (y) = \sqrt {1 – \sin^2 (y)} \)

Daraus folgt:   \( \dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} \;\;=\;\; \dfrac{1}{\sqrt {1 – \sin^2 (y)}} \)

Nachdem wir sin(y) durch x resubstituieren, ist unser Endergebnis: