Infinitesimal

Die Analysis wird oft als Infinitesimalrechnung bezeichnet. Nur was bedeutet dies eigentlich?

Der Begriff Infinitesimal stammt aus dem Lateinischen und heißt soviel wie „unendlich klein“. In der Analysis  werden die Symbole dx und \( \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \) für Integrale und Ableitungen verwendet. Das „dx“ steht dabei für das Differential. Das Differential ist das, was die Analysis von anderen Bereichen der Mathematik wie Algebra und Geometrie oder linearer Algebra und analytischer Geometrie unterscheidet. Dieses Differential wird über den Grenzwert definiert. Wie wir wissen, nähert sich beim Grenzwert eine Zahl einer anderen unendlich nahe an, erreicht sie aber nie.

Die Ableitung kann man sich als eine Linie vorstellen, die eine Kurve in zwei Punkten schneidet, wie in der Abbildung rechts. Dadurch, dass wir über den Grenzwert h immer kleiner werden lassen, wird der Abstand der beiden Punkte immer kleiner. Schließlich ist der Abstand so gering, dass die Linie die Kurve nicht mehr in zwei sondern nur noch in einem Punkt schneidet. Eine Linie, die eine Kurve in nur einem Punkt schneidet (man sagt sie berührt die Kurve in nur einem Punkt), heißt Tangente. Ihre Steigung kann über den Differentialquotienten berechnet werden, der auch schon das Wort „Differential“ im Namen trägt.

Wir haben also den Abstand zwischen den beiden Punkten infinitesimal klein werden lassen, bis die Linie zur Tangente wurde. Etwas Ähnliches können wir machen, um ein Integral zu definieren.

Das Integral kann als Fläche zwischen der x-Achse und der Funktion definiert werden. Statt zu versuchen, diese Fläche auf komplizierte Art und Weise zu berechnen, kann man dies auch mit einfachen geometrischen Formen tun. Der Mathematiker Bernd Riemann tat dies mit Rechtecken, weshalb diese Art der Integralberechnung auch Riemann-Integral genannt wird.

Beim Riemann-Integral werden Rechtecke zwischen Funktion und x-Achse aufgestellt. In der Abbildung hat ein Rechteck die Breite Δx. Was passiert aber, wenn wir diese Breite infinitesimal klein werden lassen?

Je geringer die Breite der einzelnen Rechtecke, desto näher kommt der berechnete Wert dem des tatsächlichen Integrals. Wird dieser Wert infinitesimal klein, stimmen berechnete Fläche und Integral exakt überein.