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Umkehrfunktion

Man kann sich mathematische Funktionen als eine Art "Automat" vorstellen: man wirft auf der einen Seite etwas ein, und bekommt auf der anderen Seite etwas anderes heraus. Bei Funktionen gibt man einen Wert ein und bekommt dafür einen Funktionswert. Die Umkehrfunktion f-1 der Funktion f  macht genau das Gegenteil.

Definition
Eine Umkehrfunktion ist eine mathematische Funktion die einem Funktionswert sein Argument zuordnet. Eine Funktion g ist damit die Umkehrfunktion einer Funktion f, wenn y = f(x), dann x = g(y). Anders ausgedrückt: würden wir zuerst f und dann g auf ein Argument x anwenden, würden wir wieder dieses Argument erhalten: f(g(x)) = x.

Eine Funktion f hat nur dann eine Umkehrfunktion wenn für jedes y im Wertebereich, nur ein Wert von x im Definitionsbereich existiert, für den gilt: f(x) = y. Die Inverse eine Funktion wird meist als f-1 geschrieben und "f invers" gesprochen.

Die Beziehung zwischen Funktion und Umkehrfunktion lässt sich anhand des folgenden Bildes erklären: 

Das macht die Umkehrfunktion

Nehmen wir an, wir haben eine Funktion f(x) = x3 und wollen wissen, für welchen Wert von x unsere Funktion f(x) den Wert 64 hat. Wir wissen natürlich, dass wir diesen Wert mithilfe der Kubikwurzel finden können. So ist . Allgemein kann sogar gesagt werden, dass wenn dann ist . Allgemein gesagt: die Kubikwurzel ist die inverse Funktion der kubischen Funktion f(x) = x3.

Umkehrfunktionen bestimmen

Die Umkehrfunktion einer Funktion lässt sich in drei Schritten bestimmen:

  1. Funktion als y = f(x) umschreiben
  2. Die neue Funktion nach x lösen
  3. Um f-1(x) als Funktion von x zu schreiben, müssen x und y ausgetauscht werden

Beispiel

Bestimme die Umkehrfunktion von f(x) = x3 - 5

Zuerst schreiben wir die Funktion als

yx3 - 5

Dann lösen wir die Funktion nach x auf

x3 = y + 5

Als letztes tauschen wir x und y:

Die Umkehrfunktion ist damit

Nicht alle Funktionen haben eine Umkehrfunktion

Es ist nicht grundsätzlich so, dass jede Funktion auch eine entsprechende Umkehrfunktion besitzt. Hat eine Funktion für einen Wert von x zwei oder mehr verschiedene Funktionswerte, so ist es meistens nicht möglich, die Umkehrfunktion einfach zu bestimmen. Graphisch lässt sich dies mit einer horizontalen Linie bestimmen. Zeichnet man die Funktion, dann darf eine horizontale Linie den Graphen nur an einer Stelle schneiden. Schneidet sie den Graphen an mehreren Stellen, so existiert wahrscheinlich keine Umkehrfunktion.

Eine Funktion, die jedem Wert von x nur einen einzigen Wert aus der Wertemenge zuweist, heißt injektive Funktion.

Beispiel

Die trigonometrische Funktion f(x) = sin(x) hat als Umkehrfunktion f-1(x) = asin(x). f(10π) = 0 allerdings ist asin(0) = 0.

f(x) = sin(x) f(x) = asin(x)

Vorsicht!

Es ist verlockend, anzunehmen, dass die Umkehrfunktion von f(x) = x² die Funktion ist. Auch wenn für alle x ≥ 0 wahr ist, stimmt dies für alle x < 0 nicht mehr. Wird x kleiner als Null, ist die Quadratwurzel nicht mehr für negative Werte in definiert. Die Umkehrfunktion für Werte von x < 0 lautet daher . Es müssen also Fälle unterschieden werden. Dieses Problem haben alle Funktionen mit geraden Exponenten.