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Symmetrie von Funktionen

Symmetrieeigenschaften von Funktionen zu finden, ist ein Kriterium einer Kurvendiskussion. Unterschieden wird dabei zwischen y-Achsensymmetrie und Punktsymmetrie (zum Ursprung).

Definition

Eine Funktion, die y-Achsensymmetrisch ist, erfüllt folgende Bedingung:

Eine Funktion die Punktsymmetrisch zum Ursprung (0|0) ist, erfüllt folgende Bedingung:

Auch wenn meistens nur nach Punktsymmetrie zum Ursprung gefragt ist, so kann eine Funktion zu jedem beliebigen Punkt im Koordinatensystem punktsymmetrisch sein.

Gerade und ungerade Funktionen

Wenn eine Funktion die Bedingung f(x) = f(-x) für alle x im Definitionsbereich erfüllt, nennt man diese Funktion gerade. Ganzrationale Funktionen die nur grade Exponenten haben, erfüllen diese Kondition. Beispielsweise erfüllt die Funktion x² diese Kondition:

Neben den graden Funktionen gibt es auch noch ungerade Funktionen. Diese Funktionen erfüllen die Kondition -f(x) = f(-x) und sind zum Ursprung (0|0) punktsymmetrisch. Ganzrationale Funktionen sind dann ungerade, wenn alle Exponenten ungerade Zahlen sind. Folgende Funktion wäre dafür ein Beispiel:

Aufpassen!

Die Funktion x³+2 ist keine ungerade Funktion. Der Term 2 kann auch als 2 · x0 geschrieben werden, wobei 0 ein grader Exponent ist.

Dies wird auch durch den Graphen der Funktion bestätigt. Es liegt zwar eine Punktsymmetrie vor, aber keine zum Ursprung.

Geometrischer Zusammenhang

Am einfachsten kann man sich Punktsymmetrie und y-Achsensymmterie veranschaulichen, wenn man sich das Ganze in einem Korrdinatensystem anzeigen lässt. Unterhalb sind zwei Funktionen: die erste ist punktsymmetrisch zum Ursprung, die zweite y-Achsensymmetrisch. Die Striche auf dem Graphen (rot) geben an, dass zwei Linien die gleiche Länge haben.

Punktsymmetrie zum Ursprung

y-Achsensymmetrie
Punktsymmetrie zum Ursprung

y-Achsensymmetrie

Punktsymmetrie zu einem beliebigen Punkt

Auch wenn meistens Punktsymmetrie zum Ursprung gefragt ist, kann eine Funktion zu jedem beliebigen Punkt symmetrisch sein. Die Funktion f(x) = (x-2)³+3 ist beispielsweise zum Punkt (2|3) Punktsymmetrisch. Rechnerisch kann die Punktsymmetrie so werden:

Beispiel

Bestimme zu welchem Punkt die Funktion f(x) = x³-6x²+12x-7 punktsymmetrisch ist.

Zuerst müssen wir die Koordinaten von zwei Punkten auf dem Graphen berechnen. Dazu suchen wir uns zwei beliebige x-Werte aus und setzen diese in die Funktion ein. Wir wählen x1 = 0 und x2 = 1: