Summenzeichen

Eine praktische Möglichkeit um eine Summe verkürzt zu schreiben, ist die Summenschreibweise (auch Sigma Notation genannt), die mit dem großen griechischen Buchstaben Sigma (Σ) angegeben wird.

Summenzeichen mit Erklärung

Definition

Die Summe von n Termen a₁, a₂, a₃, …, a_n kann verkürzt wie folgt geschrieben werden:

\( \large{ \displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_i = a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n } \)

i ist die Laufvariable (auch Laufindex genannt), a_i ist ite Term einer Summe, i und n sind die Unter- und Obergrenzen der Summe.

Eigenschaften der Summenfunktion

\( \begin{align*} \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) &= C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) \\[2ex] \sum_{n=s}^t f(n) + \sum_{n=s}^{t} g(n) &= \sum_{n=s}^t \left[f(n) + g(n)\right] \\[2ex] \sum_{n=s}^t f(n) – \sum_{n=s}^{t} g(n) &= \sum_{n=s}^t \left[f(n) – g(n)\right] \\[2ex] \sum_{n=s}^j f(n) + \sum_{n=j+1}^t f(n) &= \sum_{n=s}^t f(n) \\[2ex] \left(\sum_{i=k_0}^{k_1} a_i\right)\cdot\left(\sum_{j=l_0}^{l_1} b_j\right) &= \sum_{i=k_0}^{k_1}\sum_{j=l_0}^{l_1} a_ib_j \\[2ex] \sum_{i=k_0}^{k_1}\sum_{j=l_0}^{l_1} a_{i,j} &= \sum_{j=l_0}^{l_1}\sum_{i=k_0}^{k_1} a_{i,j} \end{align*} \)

Anmerkungen

Konstanten können aus dem zu summierenden Term faktorisiert werden und als Faktor vor das Summenzeichen geschrieben werden

Zwei Summen mit der selben Ober- und Untergrenze, die addiert werden, können als eine einzige Summe geschrieben werden
Das selbe gilt auch für Summen die subtrahiert werden
Ist die Obergrenze einer Summe, die zu einer anderen Summe mit identischen Term addiert wird, die Untergrenze dieser Summe plus eins, können die Summen zusammengefasst werden

Das Produkt zweier Summen kann als die Summe der Summe geschrieben werden, bei der die zu summierenden Terme multipliziert werden
Addition ist kommutativ; die Summenschreibweise auch

Unendliche Summen

Die Ober- und Untergrenze einer Summe muss keine natürliche Zahl sein. Genau wie Integrale, können auch Summen die Unendlichkeit ∞ als Grenze haben. Die irrationalen Zahlen e und π lassen sich beispielsweise als unendliche Summe schreiben:

\( \displaystyle e = \sum_{k=0}^{\infty}{\dfrac{1}{k!}} = \dfrac{1}{0!} + \dfrac{1}{1!} + \dfrac{1}{2!} + \dfrac{1}{3!} + \dfrac{1}{4!} + \cdots = 1 + 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{24} + \cdots \)

\( \displaystyle\pi = \sum_{k=0}^{\infty}\dfrac1{16^k}\left(\dfrac4{8k+1} – \dfrac2{8k+4} – \dfrac1{8k+5} – \dfrac1{8k+6}\right) \)

Unendliche Summen kann man nicht vollständig errechnen, da sie sie kein Ende besitzen. Stattdessen konvergieren sie allmälich zu einem Wert hin. Sie ähneln in dieser Eigenschaft Grenzwerten, die auch auf einen Wert zustreben. Es ist daher von Vorteil, einen Taschenrechner oder Computer für die Berechnung unendlicher Summen einzusetzen.

Häufig benutzte Summen / Potenzsummen

Viele einfache arithmetische Folgen müssen nicht mit Hilfe der Summenschreibweise ausgedrückt werden, sondern können noch weiter vereinfacht geschrieben werden:

\( \begin{align*} \sum_{i=m}^n 1 &= n+1-m \\[2ex] \sum_{i=m}^n i &= \dfrac{(n+1-m)(n+m)}{2} \\[2ex] \sum_{i=0}^n i &= \sum_{i=1}^n i = \dfrac{n(n+1)}{2} \\[2ex] \sum_{i=0}^n i^2 &= \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \dfrac{n^3}{3} + \dfrac{n^2}{2} + \dfrac{n}{6} \\[2ex] \sum_{i=0}^n i^3 &= \left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^2 = \dfrac{n^4}{4} + \dfrac{n^3}{2} + \dfrac{n^2}{4} = \left[\sum_{i=1}^n i\right]^2 \\[2ex] \sum_{i=0}^n i^4 &= \dfrac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30} = \dfrac{n^5}{5} + \dfrac{n^4}{2} + \dfrac{n^3}{3} – \dfrac{n}{30} \end{align*} \)

Summe der Zahl 1 von m bis n (= Anzahl der Zahlen zwischen m und n)
Summe aller Zahlen von m bis n
Summe aller Zahlen von Null bis n

Summe aller Quadratzahlen bis n
Summe aller Kubikzahlen bis n
Summe aller Viererpotenzen bis n