Potenzen und Potenzgesetze

Potenzieren ist eine wichtige mathematische Rechenoperation, die mit zunehmender Klassenstufe immer wichtiger wird. Eine Potenz besteht aus einer Basis und einem Exponenten, wobei der Exponent über der Basis, meist in kleinerer Schrift, geschrieben wird. Auch trigonometrische Funktionen können in Form von Potenzierungen komplexer Zahlen ausgedrückt werden.

\( \large{ \color{explaination}\text{Basis}\to\color{black}\quad 2^{5\color{explaination}\quad\leftarrow\;\text{Exponent}} } \)

Das Potenzieren war ursprünglich eine vereinfachte Schreibweise für wiederholtes Multiplizieren:

\( \large{ a^n = \ubrace[n\, \mathrm{Faktoren}]{{ a\cdot a\cdot a\cdot \,\ldots\, \cdot a }} } \)

Ist n eine negative ganze Zahl, wird der Kehrwert n mal multipliziert bzw. n mal dividiert:

\( \large{ a^{-n} \;\;\;=\;\;\; \ubrace[n\, \mathrm{Faktoren}]{{ \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a} \cdot \,\ldots\, \cdot \frac{1}{a} }} \;\;\;=\;\;\; 1\div \ubrace[n\, \mathrm{Divisoren}]{a \div a \div a \ldots \div a\vphantom{\frac{1}{a}}} } \)

Einige Mathematiker (z.B. Isaac Newton) verwendeten Exponenten nur für Potenzen die größer als zwei waren und zogen es vor, Quadrate als wiederholte Multiplikation darstellen. So würden sie beispielsweise ein Polynom dritten Grades so schreiben:
a x³+b x x+c x+d.

Potenzregeln

#	Gesetz	Anmerkung
1.	\( \large{ a^0=1 } \)	Dies ist hauptsächlich eine Definitionssache. Wäre es anderes definiert, gäbe es Komplikationen in vielen Bereichen der Mathematik.
2.	\( \large{ a^1=a } \)	Genau wie man bei der Multiplikation Koeffizienten mit einem Wert von 1 nicht schreibt, lässt man bei der Potenzrechnung Exponenten mit einem Wert von 1 weg.
3.	\( \large{ a^r\cdot a^s = a^{r+s} } \)	Wichtig bei diesem Gesetz ist, dass die Basis die selbe ist.
4.	\( \large{ \frac{a^r}{a^s} = a^{r-s} } \)	Eigentlich das selbe Gesetz wie das oberhalb, nur anders geschrieben (siehe auch Gesetz #6).
5.	@@ (ab)^r = a^rb^r @@	Potenzierung ist weder assoziativ noch kommutativ, unterliegt dem Distributivgesetz.
6.	@@ (a/b)^r = (a^r)/(b^r) @@	Eine Kombination der Gesetze 5 und 7.
7.	\( \large{ a^{-r} = \frac{1}{a^r} } \)	Hilfreiches Gesetz, vor allem bei der Infinitesimalrechnung. Mit diesem Gesetz können Quotienten als Faktoren geschrieben werden.
8.	@@ (b^n)^m=b^{n*m} @@	Eine wichtige Identität des Potenzierens.
9.	\( \large{ a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a} } \)	Wurzeln können als Potenzen geschrieben werden.
10.	\( \large{ a^{\frac{m}{n}} = \big(\sqrt[n]{a}\big)^m } \)	Eine Kombination der Gesetze 8 und 9.
\( \large{ r \in \mathbb{R}, \quad n,m \in \mathbb{Z} } \)