Logarithmusgleichungen lösen

Gleichungen, die Logarithmen enthalten, sind Logarithmusgleichungen. In dem Ausdruck loga(x) sind a ≠ 1 und x > 0. Einige Logarithmusgleichungen können durch Verwendungen der Logarithmusgesetze gelöst werden. In der Regel muss ein Ausdruck, der aus mehreren Logarithmen besteht, so umgeschrieben werden, dass nur noch ein Logarithmus vorkommt.

Beispiel 1

Löse die Logarithmusgleichung log10(4x + 5) = 2

log10(4x + 5) = 2 Mit der Basis des Logarithmus exponieren (hier: 10)
10log10(4x + 5) = 102 Mit dem Logarithmusgesetz umschreiben
4x + 5 = 102 -5
4x = 100 - 5 ÷4
x = $\frac{95}{4}$ = 23,75 -5

Beispiel 2

Löse die Logarithmusgleichung log10(x + 3) + log10(x) = 1

log10(x + 3) + log10(x) = 1 Logarithmen zusammenziehen
log10(x[x + 3]) = 1 Mit der Basis des Logarithmus exponieren
10log10(x[x + 3]) = 101 Mit dem Logarithmusgesetz umschreiben
x(x + 3) = 10 Ausmultiplizieren
x2 + 3x = 10 -10
x2 + 3x - 10 = 0 Faktorisieren
(x - 2)(x + 5) = 0 Lösen
  => x1 = 2, x2 = -5

Zwar hat diese Gleichung zwei Lösungen, allerdings ist der Logarithmus einer negativen Zahl nicht definiert, wie es bei x2 = -5 der Fall wäre. Dies können wir einfach durch erneutes Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung überprüfen. Daher hat diese Logarithmusgleichung nur die Lösung x1 = 2

Beispiel 3

Löse die Logarithmusgleichung ln(x - 3)+ln(x - 2) = ln(12x + 24)

ln(x - 3)+ln(x - 2) = ln(12x + 24) Die Summe zweier Logarithmen gleicher Basis als Produkt eines Logarithmus zusammenfassen
ln((x - 3) · (x - 2)) = ln(12x + 24) Alle Logarithmen auf eine Seite bringen
ln((x - 3) · (x - 2)) - ln(12x + 24) = 0 Die Differenz zweier als Quotienten eines Logarithmus zusammenfassen
$\ln\left({\dfrac{({x-3})\cdot({x-2})}{12x+24}}\right )$ = 0 Mit der Basis (hier e) exponieren und die Logarithmen auflösen
${\dfrac{({x-3})\cdot({x-2})}{12x+24}}$ = 1 Beide Seiten mit 12x + 24 multiplizieren
(x - 3)(x - 2) = 12x + 24 Die linke Seite ausmultiplizieren
x2 - 5x + 6 = 12x + 24 12x + 24 von beiden Seiten subtrahieren
x2 - 17x - 18 = 0 Die Gleichung faktorisieren
(x - 18)(x + 1) = 0 Dadurch können wir die Gleichung in zwei neue Gleichungen aufteilen
x - 18 = 0 oder x + 1 = 0     Gleichungen lösen
x = 18 oder x = -1     Lösungen erneut in die Gleichung einsetzen und überprüfen
x = 18      

Durch erneutes Einsetzen stellen wir auch hier fest, dass es nur eine Lösung gibt, nämlich x = 18.