Die Kreiszahl Pi

Die Zahl π ist eine mathematische Konstante, welche das Verhältnis vom Umfangs zum Durchmesser eines Kreises beschreibt. Dieses Verhältnis ist konstant und verändert sich nicht mit der Größe des Kreises. Die Konstante wird manchmal als Pi geschrieben und hat ungefähr einen Wert von 3,14159. In der Regel wird sie allerdings durch den griechischen Buchstaben „π“ dargestellt, welcher schon seit Mitte des 18. Jahrhunderts benutzt wird. π ist eine irrationale Zahl, sie kann daher nicht als Quotient zweier ganzer Zahlen dargestellt werden (auch wenn Brüche wie ²²/₇ häufiger benutzt werden, um Pi näherungsweise anzugeben). Als Folge ist die Dezimaldarstellung von π unendlich und wiederholt sich nie. Darüber hinaus ist π eine transzendente Zahl, also eine Zahl die nicht als Lösung eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten auftreten kann.

Kurze Geschichte

Seit Jahrtausenden bereits versuchen Mathematiker das Verständnis der Zahl Pi zu erweitern. Oft geschah dies durch die Berechnung weiterer Dezimalstellen. Vor dem 15. Jahrhundert benutzten Mathematiker wie Archimedes und der Chinese Lui Hui geometrische Methoden, die Polynome benutzten, deren Fläche durch bekannte Formeln berechnet werden konnte, um den Wert von π näherungsweise zu berechnen. Ab dem 15. Jahrhundert wurden Algorithmen, die unendliche Reihen benutzen, entdeckt, welche die Berechnung weiterer Nachkommastellen revolutionierte. Viele bekannte Mathematiker wie Isaac Newton, Leonhard Euler und Carl Friedrich Gauß setzten sie ein und verfeinerten sie weiter.

Seit dem 20. Jahrhundert setzen Mathematiker Supercomputer ein, um weitere Stellen von Pi zu berechnen. Heute (Stand 2012) sind bereits über 10 Milliarden (1013) Nachkommastellen bekannt. Aus wissenschaftlicher Sicht werden allerdings kaum mehr als die ersten 40 Nachkommastellen für genaue Berechnungen verwendet. Die Berechnung von weiteren Nachkommastellen dient in der Regel der Aufstellung neuer Weltrekorde oder zum Testen neuer Hardware oder Software.

Eigenschaften

Die Quadratur des Kreises ist unmöglich Zwei der wichtigsten Eigenschaften von Pi sind, das die Zahl sowohl irrational als auch transzendent ist. Die Tatsache, dass Pi eine transzendente Zahl ist, hat zwei weitere wichtige Konsequenzen:

Zum einen kann die Zahl nicht durch irgendeine Kombination aus rationalen Zahlen und Quadratwurzeln, wie beispielsweise \( \sqrt[3]{57} \) oder \( \sqrt{7} \), dargestellt werden.
Zum anderen kann keine transzendente Zahl durch einen Zirkel und ein Lineal konstruiert werden. Hierbei ist der Begriff der Konstruierbarkeit ein mathematischer. Ein Punkt oder eine Zahl gelten als konstruierbar, wenn sie allein mit einem Zirkel und einem Lineal konstruiert werden können. Damit kann auch die alte Frage nach der Quadratur des Kreises beantwortet werden: Es ist nicht möglich,nur mit einem Zirkel und einem Lineal ein Quadrat zu Zeichnen, das dieselbe Fläche wie ein gegebener Kreis besitzt.

Die Quadratur eines Kreises ist eines der großen Aufgabenstellungen der Antike gewesen. Noch heute versuchen Hobbymathematiker dieses Problem zu lösen, auch wenn es unmöglich ist.

Die Nachkommastellen von Pi haben kein nachgewiesenes Muster. Aus statistischer Sicht treten die Zahlen zufällig auf und sind auch Normal. (Eine unendlich lange Zahl bezeichnet man als normal, wenn alle möglichen Kombinationen aus Zahlen jeder beliebigen Länge gleich häufig auftreten.) Es wurde allerdings noch nicht mathematisch bewiesen, dass Pi normal ist, auch wenn alle statistischen Daten daraufhin deuten.

Kettenbrüche

Wie jede irrationale Zahl, kann auch Pi nicht als normaler Bruch dargestellt werden. Aber jede irrationale Zahl, darunter auch Pi, kann als Reihe unendlich vieler ineinander verschachtelter Brüche, sogenannter Kettenbrüche, dargestellt werden:

\( \pi=3+\textstyle \frac{1}{7+\textstyle \frac{1}{15+\textstyle \frac{1}{1+\textstyle \frac{1}{292+\textstyle \frac{1}{1+\textstyle \frac{1}{1+\textstyle \frac{1}{1+\ddots}}}}}}} \)

Würde man den Kettenbruch an irgendeiner Stelle abbrechen, so würde man einen Bruch erhalten, der Pi näherungsweise wiedergibt. Historisch gesehen wurden die Brüche ²²/₇ und ³⁵⁵/₁₁₃ häufig benutzt, um dies zu tun. Jede näherungsweise Berechnung, die auf diese Art und Weise bestimmt wird, ist die bestmögliche rationale Approximation. Das heißt, dass die so gewonnene Schätzung des Werts näher an Pi ist als jeder andere Bruch mit dem selben oder einem kleineren Nenner. Auch wenn der Kettenbruch von Pi (siehe oben) keinem feststellbaren Muster folgt, so haben Mathematiker Kettenbrüche entdeckt, die dies tun:

\( \pi=\textstyle \cfrac{4}{1+\textstyle \frac{1^2}{2+\textstyle \frac{3^2}{2+\textstyle \frac{5^2}{2+\textstyle \frac{7^2}{2+\textstyle \frac{9^2}{2+\ddots}}}}}} =3+\textstyle \frac{1^2}{6+\textstyle \frac{3^2}{6+\textstyle \frac{5^2}{6+\textstyle \frac{7^2}{6+\textstyle \frac{9^2}{6+\ddots}}}}}=\textstyle \cfrac{4}{1+\textstyle \frac{1^2}{3+\textstyle \frac{2^2}{5+\textstyle \frac{3^2}{7+\textstyle \frac{4^2}{9+\ddots}}}}} \)

Vielecke zur näherungsweisen Berechnung von Pi

Archimedes bei der Arbeit Der erste schriftlich dokumentierte Algorithmus zur näherungsweisen Berechnung von Pi stammt von dem griechischen Mathematiker Archimedes. Etwa 250 v. Chr. benutzte Archimedes Polygone (Vielecke), deren Berechnungsformeln bereits bekannt waren. Dieser Algorithmus wurde noch von anderen Mathematikern für die nächsten 1.000 Jahre verwendet, um Pi mit immer größerer Präzision zu bestimmen.

(Eine interaktive Animation zur näherungsweisen Berechnung mit Pi mit der Methode von Archimedes, findet sich hier.)
Archimedes berechnete Pi näherungsweise indem er zwei Sechsecke verwendete. Das eine Sechseck wurde so gewählt, dass es genau außerhalb eines Kreises passt und den Kreis einschloss. Das andere wurde innerhalb des Kreises so platziert, dass es nicht größer war, als der Kreis, den es einschloss. Er verdoppelte die Anzahl der Seiten so lange, bis beide Polygone 96 Seiten hatten. So konnte Archimedes eine Ober- und Untergrenze für Pi mit einer recht eindrucksvollen Genauigkeit für die damalige Zeit berechnen. Indem er den Umfang beider Polygone ermittelte, konnte er beweisen, dass der echte Wert von Pi zwischen ²²³/₇₁ < π < ²²/₇ (3,1408 < π < 3,1429) liegen musste.

Im alten China wurden 3,1547 (etwa 1 n. Chr.), \( \sqrt{10}\approx 3{,}1623 \) (etwa 100 n. Chr.) und ¹⁴²/₄₅ ≈ 3,1556 (3. Jahrhundert n. Chr.) für Pi verwendet. Etwa 265 n. Chr. entwickelte der chinesische Mathematiker Liu Hui einen neuen Algorithmus der mit einem 3.072-seitigen Polygon arbeitete, um den Wert von Pi auf 3,1416 zu schätzen. Es war die genauste näherungsweise Berechnung von Pi zur damaligen Zeit. Später verfeinerte Liu seine Methoden und ermittelte einen Wert von 3,14 für Pi. Er benutzte dazu, wie Archimedes, ein 96-seitiges Polygon, machte sich aber die Tatsache zunutze, dass die Differenz zwischen der Fläche aufeinanderfolgender Polygone eine geometrische Reihe mit einem Faktor von 4 bildet.

Knapp 100 Jahre später, etwa 480 n. Chr., benutzte der chinesische Mathematiker Zu Chongzhi den Algorithmus von Liu – allerdings diesmal mit einem 12.288-seitigen Polygon – und berechnete den Wert von Pi auf ³⁵⁵/₁₁₃ (dieser Bruch ist in China auch als Milü bekannt). Zu Chongzhi hatte damit die ersten sieben Nachkommastellen von Pi als Erster richtig berechnet. Dieser Wert sollte für die nächsten 800 Jahre die genauste Berechnung von Pi bleiben.

Der indische Astronom Aryabhata benutzte 499 n. Chr. einen Wert von 3,1416 in seinen Schriften. Fibonacci benutzte eine polynombasierte Methode um Pi auf 3,1418 zu schätzen. Der italienische Autor Dante verwendet den Wert @@ 3+sqrt(2)/10 ~~ 3,14142 @@.

1424 berechnete der persische Astronom Jamshid al-Kashi die ersten 16 Nachkommastellen korrekt, indem er ein Polygon mit 805.306.368 Seite verwendete. Dieser Rekord blieb für die nächsten 180 Jahre ungebrochen. Der holländische Mathematiker Ludolph van Ceulen brach 1596 schließlich diesen Rekord, indem 20 Nachkommastellen richtig berechnete. Später schaffte er es sogar diesen Rekord noch einmal zu brechen und Pi auf 35 Nachkommastellen genau zu berechnen. Zu Ehren dieser Leistung bezeichnete man noch bis ins frühe 20. Jahrehundert pi als Ludolphsche Zahl. Der österreichische Astronom Christoph Grienberger berechnete 1630 Pi auf 38 Nachkommastellen genau, ein Wert, welcher bis heute, die genauste Berechnung von Pi allein durch Polygone und ohne die Hilfe von Rechenmaschinen oder Computern bleibt.

Berechnung von Pi durch unendliche Reihen

Die Berechnung von Pi wurde durch die Entwicklung unendlicher Reihen im 16. und 17. Jahrhundert revolutioniert. Auch wenn unendliche Reihen für Pi hauptsächlich von europäischen Mathematikern wie James Gregory und Gottfried Wilhelm Leibniz verwendet wurden, wurde der Ansatz zwischen 1400 und 1500 n. Chr. in Indien entwickelt. Die erste schriftliche Formel zur Berechnung von Pi durch eine unendliche Reihe ist in einem Sanskrit Vers des indischen Astronomen Nilakantha Somayaji vermerkt. In späteren Werken veröffentlicht Nilakantha weitere Reihen zu trigonometrischen Funktionen wie Sinus, Cosinus und Tangens und schreibt die ursprünglich veröffentlichte unendliche Reihe zur Berechnung von Pi einem weiteren indischen Mathematiker, Madhava von Sangamagrama, zu. Deshalb ist diese Reihe heute auch als Madhava-Reihe oder Leibniz-Reihe bekannt.

Die erste unendliche Sequenz zur Berechnung von Pi die in Europa entdeckt wurde, beschrieb der französische Mathematiker François Viète in 1593:

\( \frac{2}{\pi} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}}{2} \cdots \)

Die zweite Sequenz, die in Europa entdeckt wurde, beschrieb der britische Mathematiker Jahn Wallis in 1655. Sie ist heute als wallissches Produkt bekannt:

\( \displaystyle\prod_{n=1}^{\infty} \left(\frac{2n}{2n-1} \cdot \frac{2n}{2n+1}\right) = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2} \)

Die Entdeckung der Analysis durch den englischen Wissenschaftler Isaac Newton und den deutschen Mathematiker Gottfried Wilhelm Leibniz um etwa 1660, führte zu der Entdeckung vieler weiterer unendlicher Reihen zur näherungsweisen Bestimmung von Pi. Newton selbst benutzte eine Reihe der inversen Sinusfunktion, um 15 Nachkommastellen von Pi in 1665 bzw. 1666 zu berechnen.

In Europa wurde die Formel von Madhava von dem schottischen Mathematiker James Gregory 1671 und von Leibniz 1674 wiederentdeckt. Sie ist daher auch als Leibniz-Reihe (oder auch als Gregory-Leibniz Reihe im englischsprachigen Raum) bekannt:

\( \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{2k+1} = 1 – \frac{1}{3} + \frac{1}{5} – \frac{1}{7} + \frac{1}{9} – \dots = \frac{\pi}{4} \)

1699 benutzte der englische Mathematiker Abraham Sharp diese Reihe, um Pi auf 71 Nachkommastellen genau zu berechnen und brach damit den vorigen Rekord, der durch einen Polygonalgorithmus aufgestellt wurde.

1706 vereinfachte der englische Professor für Astronomie, John Machin, die Leibniz-Reihe:

\( \large{ \displaystyle\frac{\pi}{4} = 4 \, \arctan \frac{1}{5} – \arctan \frac{1}{239} } \)

Machin konnte mit dieser Formel 100 Nachkommastellen von Pi bestimmen. Andere Mathematiker benutzten Abwandlungen dieser Formel und stellten damit immer neue Rekorde auf. Auch im beginnenden Computerzeitalter wurden Abwandlungen der Formel von Machin noch benutzt. Noch 250 Jahre nach seiner Entdeckung wurden so Rekorde aufgestellt, die 1946 ihren Höhepunkt in den Berechnungen von Daniel Ferguson erreichten, der ohne Hilfe eines Rechengerätes 620 Nachkommastellen berechnete.

Ein außergewöhnlicher Rekord wurde 1844 auch so von dem Hamburger Rechenküstler Johann Martin Dase aufgestellt, der im Auftrag von Carl Friedrich Gauß 200 Nachkommastellen von Pi berechnete. Auch der britische Mathematiker William Shanks stellte eine Rekord auf: er brauchte 15 Jahre um 707 Nachkommastellen von Pi zu berechnen, machte aber einen Rechnerfehler bei der 528. Stelle, was dazu führte, dass alle Nachfolgenden Zahlen falsch waren.

Verwendung

Pi: Das Verhältnis von Umfang und Durchmesser Weil Pi eng verwandt mit dem Kreis ist, findet es sich häufig wieder in Formeln der Geometrie, Trigonometrie – vor allem in Formeln, die mit Kreisen, Ellipsen und Kugeln zu tun haben. In einigen wichtigen Formeln anderer Wissenschaften findet man häufig auch Pi. Dazu gehören Wissenschaften wie die Kosmologie, Thermodynamik, Statistik, Elektromagnetismus, Zahlentheorie und Mechanik.

Die einfachsten geometrischen Zusammenhänge zwischen Pi und anderen Größen lernen wir bereits in der Schule:

Der Umfang eines Kreises mit einem Radius r ist 2 · π · r

Die Fläche eines Kreises mit einem Radius von r ist π · r²
Das Volumen einer Kugel mit einem Radius r ist ⁴/₃ · π · r³
Der Flächeninhalt einer Kugel mit einem Radius von r ist 4 · π · r²

Auch die Analysis, speziell die Integralrechnung, erlaubt es Pi zu berechnen. Die Fläche eines halben Einheitskreises kann durch folgendes bestemmtes Integral berechnet werden:

\( \large{ \displaystyle\int_{-1}^1 \sqrt{1-x^2}\,dx = \frac{\pi}{2} } \)

Der Integrand

\( \sqrt{1-x^2} \)

steht für die obere Hälfte eines Einheitskreises (die Wurzel ist eine Konsequenz des Satzes des Pythagoras) und das Integral \( \int_{-1}^1 \) bestimmt die Fläche zwischen dem Halbkreis und der x-Achse.

Trigonometrische Funktionen benötigen Winkel und Winkel werden von Mathematikern in der Regel nicht in Grad sondern im Bogenmaß angegeben. Das Bogenmaß ist so definiert, dass eine volle Umdrehung (also 360°) genau 2 · π entspricht.

Die bekannten trigonometrischen Funktionen verlaufen periodisch und haben eine Periode, die ein Vielfaches von Pi ist. So ist beispielsweise @@ sin(theta) = sin(theta+2*pi*k) @@, @@ cos(theta) = cos(theta+2*pi*k) @@ und @@ tan(theta) = tan(theta+pi*k) @@, wobei k eine beliebige ganze Zahl ist.