Satz von Vieta

Mit dem Satz von Vieta können viele quadratische Polynome in Sekunden ohne Taschenrechner im Kopf – ohne pq-Formel oder abc-Formel – gelöst werden. Dies ist der Fall, weil die Koeffizienten in einer besonderen Beziehung zueinander stehen.

Definition

Seien x₁ und x₂ zwei Lösungen einer quadratischen Gleichung a · x²+b · x+c = 0, dann gilt:

\( x_1+x_2 = -\dfrac{b}{a}, \quad x_1\cdot x_2 = \dfrac{c}{a} \)

Für eine Gleichung in Normalform, daher für eine Gleichung der Art x²+p · x+q = 0, vereinfacht sich dies zu:

\( p = -(x_1 +x_2), \quad q = x_1 \cdot x_2 \)

Somit stellt der Satz von Vieta einen mathematischen Zusammenhang zwischen den Koeffizienten einer quadratischen Gleichung und dessen beiden Lösungen her.

Neben dem Satz von Vieta ist dessen Erfinder, François Viète, auch dafür bekannt, das er als Erstes durchgehend (mit einigen Ausnahmen) mathematische Symbole wie + und – (vorher wurden diese immer ausgeschrieben) verwendete. Die Schreibweise der Mathematik, wie wir sie heute verwenden, geht in vielen Teilen auf ihn zurück.

Beispiel

Finde die Nullstellen der Gleichung f(x) = x² – 3x – 10

Gemäß dem Satz von Vieta, müssen wir also zwei Zahlen finden

deren Summe 3 ( -(-3) = 3 ) ist
deren Produkt -10 ist

Da es unendlich viele Zahlenkombinationen gibt, deren Summe 3 ist, ist es einfacher sich zuerst auf das Produkt zu konzentrieren. Hierfür benötigen wir alle Faktoren von -10. Diese sind: ±1, ±2, ±5 und ±10. Alle mögliche Kombinationen wären:

-1 · 10
-10 · 1
-2 · 5

-5 · 2

Nun müssen wir die zwei Faktoren finden, deren Summe 3 ist. Es gibt nur zwei, die hierfür infrage kämen: 5 und -2. Die Nullstellen der Gleichung wären somit:

x₁ = -2
x₂ = 5

Linearfaktorzerlegung

Mit den Lösungen kann man das Polynom auch in seine Linearfaktoren zerlegen. Daher eignet sich der Satz von Vieta auch, um quadratische Polynome zu faktorisieren. Die Gleichung aus unserem Beispiel oben ließe sich in folgende Linearfaktoren zerlegen:

\( \large{ (x-5)(x+2) } \)