Quadratische Ergänzung

Quadratische Ergänzung findet in der Mathematik eine Vielzahl von Anwendungsbereichen. Neben dem Lösen von quadratischen Gleichungen und der Bestimmung des Scheitelpunkts, kann sie auch zur Integration einiger speziellen Terme verwendet werden.

Methode #1

Wenn man sich gut Formeln merken kann, ist dieser Weg der einfachste. Man kann sich diese Gleichung auch über die allgemeine Gleichung zur Lösung einer quadratischen Gleichung herleiten:

Definition

Die Funktion a · x²+b · x+c hat ihren Scheitelpunkt S bei

\( S\,\left(-\dfrac{b}{2a} \ \Bigg| \ \dfrac{4 \, a c-b^2}{4a} \right) \)

Beispiel

\( 4x^2+3x+7 \)

Der Scheitelpunkt liegt demnach bei:

\( \begin{align} S\,\left(-\frac{b}{2a} \ \Bigg| \ \frac{4 \, a c-b^2}{4a} \right) &= S\,\left(-\frac{3}{2(4)} \ \Bigg| \ \frac{4(4)(7)-(3)^2}{4(4)} \right) \\ &= S\,\left(-\frac{3}{8} \ \Bigg| \ \frac{103}{16} \right) \end{align} \)

Damit würde das Polynom in Scheitelpunktform so geschrieben werden:

@@ 4(x+3/8)+103/16 @@

Methode #2

Die zweite Methode ist die quadratische Ergänzung. Nehmen wir als Beispiel wieder die allgemeine Form der quadratischen Funktion: \( ax^2+bx+c \)

1. Zuerst muss der Leitkoeffizient aus den Termen mit x faktorisiert werden:

\( a\left(x^2+\dfrac{b}{a}x\right)+c \)

2. Dann erfolgt die eigentliche quadratische Ergänzung. Da es sich bei der quadratischen Ergänzung um eine Äqivalenzumformung handelt, wird die mathematische Aussage der Funktion nicht verändert. Somit müssen wir das, was wir hinzufügen, auch wieder abziehen. Warum wir mit \( \left( \frac{b}{2a}\right)^2 \) ergänzen, kann sehr gut geometrisch veranschaulicht werden.

\( a\left[x^2+\dfrac{b}{a}x+\ubrace[0]{\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2}\right]+c \)

3. Zusammenfassen und das Quadrat bilden:

\( a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2\right]+c \)

4. a Ausmultiplizieren. Im Prinzip haben wir die Funktion jetzt schon in die Scheitelpunktform gebracht:

\( a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{ab^2}{4a^2}+c \)

5. Noch einmal die Funktion vereinfachen und sie befindet sich in der Scheitelpunktform:

\( a\left(x+\ubrace[d]{\dfrac{b}{2a}}\right)^2+\left(\ubrace[e]{c-\dfrac{b^2}{4a}}\right) \)