Polynomdivision

Wenn man ein Polynom durch etwas Komplizierteres als ein Monom (ein Polynom, das nur aus einem Glied besteht) teilt, muss man eine andere Art der Division verwenden. Diese Technik heißt Polynomdivision.

Beispiel und Erklärung

Wir werden die Vorgehensweise bei der Polynomdivision anhand folgenden Beispiels erklären:

Als erstes müssen wir die Polynomdivision vorbereiten. Dazu schreiben wir den Term, der geteilt werden soll (Dividend) und den Term durch den geteilt wird (Divisor), so dass sie: vereinfacht sind nach Exponenten geordnet sind (von groß nach klein) Wir schreiben den Dividenden unter einen Kasten und den Divisor links daneben. Das Ergebnis schreiben wir über den Kasten (siehe Abbildung rechts).
Wenn wir den ersten Term des Dividenden (x³) durch den ersten Term des Divisors (x) teilen würden, was würden wir erhalten? @@ x^3/x = x^2 @@. Dies ist der erste Term unseres Ergebnisses. Wir schreiben ihn über den Dividenden. Um einen besseren Überblick zu behalten, ist es besser wenn wir die Ergebnisse nach Hochzahl geordnet in Spalten untereinander schreiben.
Als nächstes müssen wir x² noch mit unserem Divisor multiplizieren. Zuerst multiplizieren wir x² mit x. Wir erhalten x² · x = x³.
Dann multiplizieren wir x² mit -1, welches -x² ist. Zusammen mit dem vorigen Produkt haben wir x³-x², welches wir unterhalb den Dividenden schreiben.
Wir müssen x³-x² vom Dividenden abziehen. Da wir die beiden Polynome subtrahieren, verändern sich auch gleichzeitig die Vorzeichen. Aus -(x³-x²) wird -x³+x².
Nun müssen wir die beiden Polynome einfach voneinander subtrahieren. Die Differenz zwischen den beiden Polynomen schreiben wir wieder unterhalb. Um diesen Schritt zu trennen, zeichnen wir noch eine Linie dazwischen. Dabei wird immer der erste Term komplett subtrahiert.Auch wenn x und -3 unberührt geblieben sind, müssen sie trotzdem mitgenommen werden.
Für den nächsten Schritt arbeiten wir weiter mit dem Term 2x²+x-3. Wir wiederholen die Schritte von vorhin für diesen Term. Wir teilen dafür den führenden Term des neuen Dividenden durch den ersten Term des Divisors. Damit erhalten wir  \( \frac{2x^2}{x} = 2x \). Diesen Term schreiben wir in das Ergebnisfeld. Dann müssen wir noch 2x mit dem dem Divisor multiplizieren…
… und diesen Wert subtrahieren. Als Ergebnis erhalten wir 3x-3.
Auch jetzt suchen wir wieder  @@ (3x)/x = 3 @@. Diesen Term multiplizieren wir mit dem Divisor und schreiben den resultierenden Wert unterhalb der letzten Zeile.
Nachdem wir beide Werte voneinander abgezogen haben, bleibt ein Rest von Null (also kein Rest). Bei diesem Beispiel, blieb kein Rest übrig; beide Terme konnten direkt durcheinander geteilt werden.

Polynomdivision mit dem Ti-89/92

Auch mit graphischen Taschenrechnern kann eine Polynomdivision durchgeführt werden, und zwar so:

Polynomdivision auf dem Ti funktioniert im Prinzip genau so, wie man es sich vorstellen würde: man schreibt den Dividend in den Zähler und den Dividend in den Nenner. Wichtig ist, dass beide Polynome in Klammern geschrieben werden. Beim Ti funktioniert die Polynomdivision auf diese Weise allerdings nur, wenn beide Polynome ohne Rest geteilt werden können. Dies ist in unserem Beispiel allerdings nicht der Fall, deshalb zeigt uns der Taschenrechner nur den Bruch und kein Ergebnis an.

Um das korrekte Ergebnis zu bekommen, müssen wir die Funktion propFrac() benutzen. Sie wandelt das Ergebnis in einen echten Bruch (propFrac() = proper fraction = echter Bruch) um und führt damit die Polynomdivision aus. Wie wir sehen können, ist das Ergebnis x+1 und der Rest \( \footnotesize{ \dfrac{4}{x+1} } \).

Polynomdivision mit dem Horner-Schema

Eine einfachere Möglichkeit eine Polynomdivision durchzuführen ist das Horner-Schema. Für weitere Informationen dazu, siehe bitte den Hauptartikel Polynomdivision mit dem Horner-Schema.