Partialbruchzerlegung

Partialbruchzerlegung ist ein Werkzeug, dass in vielen Bereichen der Mathematik Anwendung findet. Es wird benutzt, um einen Bruch in viele einfachere umzuschreiben. Dies ermöglicht uns dann, beispielsweise auch einen komplizierten Bruch zu integrieren.

Vorgehensweise

Nehmen wir den Bruch \( \dfrac{P(x)}{Q(x)} \), wobei P(x) und Q(x) keine gemeinsamen Teiler ausser 1 und -1 besitzen.

Wenn der Grad von P(x) größer ist als der von Q(x), teile um \( \dfrac{P(x)}{Q(x)} \) um den Bruch als Quotient samt Rest auszudrücken und folge Schritte 2-5 um den resultierenden Term zu zerlegen.

Sollte der Grad von P(x) geringer sein als der von Q(x), faktorisiere lineare Faktoren von Q(x) in die Form (px+q)ⁿ und/oder quadratische Faktoren in die Form (ax²+bx+c)^m. Jeder quadratische Faktor ax2+bx+c muss irreduzibel sein. Er darf daher nicht in eine lineare Form mit rationalen Koeffizienten gebracht werden.
Schreibe jeden linearen Faktor (px+q)ⁿ als die Summe von n Partialbrüchen:
\( \dfrac{A_1}{px+q}+\dfrac{A_2}{\left (px+q \right )^2} + \cdots + \dfrac{A_n}{\left (px+q \right )^n} \)

Schreibe jeden quadratischen Faktor (ax²+bx+c)^m als die Summe von m Partialbrüchen:
\( \dfrac{B_{1}x+C_1}{ax^2+bx+c}+\dfrac{B_{2}x+C_2}{\left (ax^2+bx+c \right )^2} + \cdots + \dfrac{B_{m}x+C_m}{\left (ax^2+bx+c \right )^m} \)
Wende die Methoden an, die in den folgenden Beispielen erklärt werden, um die Konstanten in den Zählern der Brüche zu finden.

Beispiel #1

Schreibe folgenden Bruch mit Hilfe von Partialbruchzerlegung um:

\( \dfrac{6\,x-16}{2\,{x}^{2}+x-6} \)

Da der Grad des Zählers mit 1 weniger ist als der Grad des Nenners (2), fangen wir an, indem wir den Nenner faktorisieren:

\( \dfrac{6\,x-16}{2\,{x}^{2}+x-6}\;=\;\dfrac{6\,x-16}{\left( x+2\right) \,\left( 2\,x-3\right) }\;=\;\dfrac{A}{\left( x+2\right) }+\dfrac{B}{\left( 2\,x-3\right) } \)

Um A und B zu bestimmen, muss der Term erst wie folgt umgeschrieben werden:

\( \dfrac{6\,x-16}{\left( x+2\right) \,\left( 2\,x-3\right) }\;=\;\dfrac{A\left( 2\,x-3\right) + B\left( x+2\right)}{\left( x+2\right) \,\left( 2\,x-3\right) } \)

Da die Nenner gleich sind, erhalten wir daraus:

\( 6\,x-16 \;=\; A\left( 2\,x-3\right) + B\left( x+2\right) \)

Nun wählen wir den Wert von x so, dass entweder A oder B Null wird. Wir wählen \( x=\dfrac{3}{2} \). Damit erhalten wir:

\( \begin{align} 6\left ( {\color{highlight}\dfrac{3}{2}} \right )-16 &= A\left( 2\cdot {\color{highlight}\dfrac{3}{2}}-3\right) + B\left( {\color{highlight}\dfrac{3}{2}}+2\right)\\-7 &= 0+\dfrac{7}{2}B\\ B&=-2 \end{align} \)

Dies wiederholen wir für B. Hier wählen wir \( x=-2 \). Damit erhalten wir:

\( \begin{align} 6\left ( {\color{highlight}-2} \right )-16 &= A\left( 2\cdot ({\color{highlight}-2})-3\right) + B\left( {\color{highlight}-2}+2\right)\\-28 &= -7A+0\\ A&=4 \end{align} \)

Damit hätten wir die Partialbruchzerlegung durchgeführt. Wir erhalten als Ergebnis:

\( \dfrac{6\,x-16}{2\,{x}^{2}+x-6}\;=\;\dfrac{4}{\left( x+2\right) }-\dfrac{2}{\left( 2\,x-3\right) } \)

Allgemeine Fälle

\( \begin{align} \dfrac{1}{(x+a)(x+b)(x+c)} &= \dfrac{A}{x+a}+\dfrac{B}{x+b}+\dfrac{C}{x+c} \\[1.5ex] \text{wobei gilt}\;\;A &= \dfrac{1}{(b-a)(c-a)} \\[1.5ex] B &= \dfrac{1}{(a-b)(c-b)} \\[1.5ex] C &= \dfrac{1}{(a-c)(b-c)} \end{align} \)

\( \begin{align} \dfrac{1}{(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)} &= \dfrac{A}{x+a}+\dfrac{B}{x+b}+\dfrac{C}{x+c}+\dfrac{D}{x+d} \\[1.5ex] \text{wobei gilt}\;\; A &= \dfrac{1}{(b-a)(c-a)(d-a)} \\[1.5ex] B &= \dfrac{1}{(a-b)(c-b)(d-b)} \\[1.5ex] C &= \dfrac{1}{(a-c)(b-c)(d-c)} \\[1.5ex] D &= \dfrac{1}{(a-d)(b-d)(c-d)} \end{align} \)

Dieses Muster lässt sich beliebig fortführen.

Weiterführende Literatur

Wendland, W. L., & Steinbach, O. (2005). Analysis: Integral- und Differentialrechnung, gewöhnliche Differentialgleichungen, komplexe Funktionentheorie. SpringerLink : Bücher. Wiesbaden: Vieweg+Teubner Verlag.