Biquadratische Gleichungen

Biquadratische Gleichungen sind eine besondere Form von quartischen Gleichungen, also Gleichungen, deren höchste Potenz vier ist.

Manchmal wird der Begriff der biquadratischen Gleichung auch allgemein für Gleichungen vierten Grades verwendet (also Gleichung, dessen höchste Potenz vier ist), allerdings wird der Begriff häufiger für Gleichungen verwendet, die keine ungeraden Potenzen haben.

Definition

Eine biquadratische Gleichung ist eine Gleichung 4. Grades, die keine ungeraden Exponenten enthält:

\( \Large{ \displaystyle a\cdot x^4+b\cdot x^2+c = 0 } \)

Gleichung lösen / Nullstellen berechnen

Am häufigsten wird nach den Nullstellen der biquadrischen Gleichung gefragt. Um die biquadratische Gleichung zu lösen, müssen wir allerdings keine langen und komplizierten Formeln benutzen, da man sich eine biquadratische Gleichung als eine quadratische Gleichung bezüglich x² vorstellen kann:

\( \large{ a x^4+b x^2+c \;\;=\;\; a\br{x^2}^2+bx^2+c=0 } \)

Mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen können wir also auch biquadratische Gleichungen lösen:

\( \large{ x^2 = \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} } \)

Beispiel #1

Bestimme die Nullstellen der Gleichung: @@ x^4-8x^2+16=0 @@

Die Koeffizienten von x sind:

a = 1
b = -8
c = 16

Durch Einsetzen in die Lösungsformel für quadratische Gleichungen erhalten wir:

\( \begin{align*} x^2 &= \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[2ex] x^2 &= \dfrac{-(-8)\pm\sqrt{(-8)^2-4\cdot 1 \cdot 16}}{2\cdot 1} \\[2ex] x^2 &= \dfrac{8\pm\sqrt{0}}{2} \\[2ex] x^2 &= 4 \\[2ex] &\Rightarrow \boxed{x_1 = 2,\quad x_2 = -{2}} \end{align*} \)

Wie man sehen kann, müssen wir im vorletzten Schritt (4) noch die Quadratwurzel von x ziehen um die Lösungen der biquadratischen Gleichung zu erhalten. Da die Wurzel 0 ist, haben wir nur zwei Lösungen.

Beispiel #2

Löse die Gleichung: @@ x^4-10x^2+16=0 @@

Die Koeffizienten von x sind hier:

a = 1

b = -10
c = 16

Wieder setzen wir sie ein:

\( \begin{align*} x^2 &= \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[2ex] x^2 &= \dfrac{-(-10)\pm\sqrt{(-10)^2-4\cdot 1 \cdot 16}}{2\cdot 1} \\[2ex] x^2 &= \dfrac{10\pm\sqrt{36}}{2} \\[2ex] x^2 &= \dfrac{10\pm 6}{2} \\[2ex] &\Rightarrow \boxed{x_1 = \sqrt{8},\quad x_2 = -\sqrt{8},\quad x_3 = \sqrt{2},\quad x_4 = -\sqrt{2}} \end{align*} \)

Im Gegensatz zum Beispiel 1, ist die Wurzel hier nicht 0. Wir müssen daher den Term für \( \footnotesize{ x^2 = \dfrac{10\, +\, 6}{2} = 8 } \) und \( \footnotesize{ x^2 = \dfrac{10\, -\, 6}{2} = 2 } \) berechnen. Da es aber zwei Zahlen gibt, die, wenn sie quadriert werden, 8 beziehungsweise 2 ergeben, müssen wir jeweils beide Lösungen berücksichtigen. Wenn eine biquadratische Gleichung eine ungerade Anzahl an Lösungen hat, ist eine davon immer 0.

Weiterführende Literatur

Zeidler, E., Schwarz, H.-R., Hackbusch, W., Luderer, B., Blath, J., Schied, A.,. . . Gottwald, S. (2012). Springer-Handbuch der Mathematik III: Begründet von I.N. Bronstein und K.A. Semendjaew Weitergeführt von G. Grosche, V. Ziegler und D. Ziegler Herausgegeben von E. Zeidler. Dordrecht: Springer.