Beweis für den Kosinussatz
Betrachten wir ein Dreieck ΔABC in einem Koordinatensystem. Die Punkte A, B und C sind wie folgt definiert:
- A(b; 0)
- B(a · cos(θ); b · sin(θ))
- C(0; 0)
Im kartesischen Koordinatensystem berechnet man den Abstand zweier Punkte mit Hilfe des Satzes von Pythagoras: c² = a²+b²
Der Abstand d von zwei Punkten im kartesischen Koordinatensystem berechnet man mit der Formel: \( d = \sqrt{(a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2} \)
daraus folgt, dass
\( \begin{align}
c &= \sqrt{(0 – b \sin\theta)^2 + (a – b \cos\theta)^2} \\[2ex]
c^2 &= \big(a – b\cdot \cos(\theta)\big)^2 + \big(- b\cdot \sin(\theta)\big)^2 \\[2ex]
c^2 &= a^2 – 2\cdot a\cdot b\cdot \cospar\theta + b^2\cdot \cos^2 \br\theta + b^2 \cdot\sin^2 \br\theta \\[2ex]
c^2 &= a^2 + b^2\cdot \big(\sin^2 \br\theta + \cos^2\br \theta\big) – 2 \cdot a\cdot b\cdot \cos\theta \\[2ex]
c^2 &= a^2 + b^2 – 2\cdot a\cdot b\cdot \cospar\theta
\end{align} \)
Q.E.D.
