Beweis für den Kosinussatz

Kosinussatz

Betrachten wir ein Dreieck ΔABC in einem Koordinatensystem. Die Punkte A, B und C sind wie folgt definiert:

  • A(b; 0)
  • B(a · cos(θ); b · sin(θ))
  • C(0; 0)

Im kartesischen Koordinatensystem berechnet man den Abstand zweier Punkte mit Hilfe des Satzes von Pythagoras: c² = a²+b²

Der Abstand d von zwei Punkten im kartesischen Koordinatensystem berechnet man mit der Formel: d = \sqrt{(a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2}

daraus folgt, dass

c = \sqrt{(0 - b \sin\theta)^2 + (a - b \cos\theta)^2}

c^2 &= \big(a - b\cdot \cos(\theta)\big)^2 + \big(- b\cdot \sin(\theta)\big)^2 \\
c^2 &= a^2 - 2\cdot a\cdot b\cdot \cospar\theta + b^2\cdot \cos^2 \br\theta + b^2 \cdot\sin^2 \br\theta \\
c^2 &= a^2 + b^2\cdot \big(\sin^2 \br\theta + \cos^2\br \theta\big) - 2 \cdot a\cdot b\cdot \cos\theta \\
c^2 &= a^2 + b^2  - 2\cdot a\cdot b\cdot \cospar\theta

Q.E.D.