Zahlen

Mit der Einführung der Mengenlehre entsteht auch das Konzept, dass Zahlen unterschiedlich klassifiziert werden. Hier geben wir einen Überblick über die wichtigsten Arten von Zahlen, die es in der Mathematik gibt.

Natürliche Zahlen

Natürliche Zahlen sind die wahrscheinlich am besten nachvollziehbare Menge von Zahlen. Allerdings gibt es hier keine einheitliche Regelung bezüglich 0. Einige Autoren und Lehrer werden die 0 zu den natürlichen Zahlen zählen, andere wiederum nicht. Dies ist mathematisch nicht festgelegt und mehr eine Frage des Standpunkts, als der Wissenschaft. Historisch gesehen, wird die 0 nicht zu den natürlichen Zahlen gezählt. Für die Menge der natürlichen Zahlen mit Null, hat sich hingegen das Symbol \( \mathbb{N}_{0} \) etabliert. Auch deutsche Beamten haben sich mit der Frage der Null beschäftigt, und haben in der DIN-Norm 5473 festgelegt, dass die Menge mit dem Symbol \( \mathbb{N} \) die 0 enthalte, die Menge mit dem Symbol \( \mathbb{N}^{*} \) hingegen nicht. Letztlich ist es eine Frage, welche Konvention einem selbst liegt, und natürlich, welche der Prüfer sehen will.

Ganze Zahlen

Ganze Zahlen stellen eine Erweiterung der natürlichen Zahlen dar. Die Menge enthält alle Zahlen, die ohne Komma geschrieben werden können und damit ohne Nachkommastelle auskommen. Sie enthalten zusätzlich zu den natürlichen Zahlen quasi noch deren negatives Gegenstück.

Sie haben das Mengensymbol \( \mathbb{Z} \), welches für das deutsche Wort „Zahlen“ steht.

Rationale Zahlen

Rationale Zahlen stellen wiederum eine Erweiterung der ganzen Zahlen dar. Hier finden sich alle Zahlen, die sich als Bruch zweier ganzer Zahlen ausdrücken lassen.

Sie haben das Mengensymbol \( \mathbb{Q} \), welches für das Wort „Quotienten“ steht.

Reelle algebraische Zahlen

Die Menge der reellen algebraischen Zahlen wird meistens nicht im Unterricht besprochen. Diese Menge enthält alle Zahlen, die Lösungen von Polynomen sein können, dessen Grad größer als Null ist. Neben den rationalen Zahlen, enthält diese Menge damit auch Wurzeln wie \( \sqrt{3} \), da dies eine Lösung der Gleichung x²-3=0 ist.

Reelle Zahlen

Die reellen Zahlen bilden den in der Mathematik wichtigsten Zahlenbereich. Sie umfassen alle Zahlen, die sich auf dem Zahlenstrahl abbilden lassen. Im Vergleich zu den rationalen Zahlen, sind in dieser Menge auch Zahlen, die eine nicht-periodische Nachkommaziffernfolge haben. Teilt man zwei Zahlen durcheinander, entsteht eine Zahl, deren Nachkommastellen sich nach einer Weile wiederholen. Diese Zahlen haben eine periodische Nachkommaziffernfolge. Ein Beispiel hierfür wäre:

Wie man sehen kann, wiederholt sich diese eine Zahlenfolge nach dem Komma immer wieder. Dies ist nicht bei allen Zahlen so, wie die folgenden Beispiele zeigen:

Egal wie viele Nachkommastellen man errechnet, sie wiederholen sich nicht. Im Fall von \( \sqrt{2} \) wurde dies bereits im vierten Jahrhundert vor Christus von Euklid bewiesen.

Komplexe Zahlen

Komplexe Zahlen sind etwas besonderes. In vielen Schulen werden sie gar nicht erst behandelt. Dies liegt daran, dass in der „normalen“ Schulmathematik die Anwendungsgebiete eher begrenzt sind.

Komplexe Zahlen bestehen aus zwei Teilen: einem sogenannten Realteil a und einen Imaginärteil b. Sie werden meinst in der Form a ± b · i dargestellt. Zwar kann man mit komplexen Zahlen auch die Grundrechenoperationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division durchführen, aber diese werden unter anderem anders ausgeführt, als mit konventionellen Zahlen (siehe dazu auch den Hauptartikel Komplexe Zahlen).

Das eigentliche neue bei dieser Art Zahlen ist der Imaginärteil, genauer gesagt die imaginäre Zahl i. Sie ist definiert als i² = -1. Mit ihr ist es unter anderem möglich, die Wurzeln von negativen Zahlen zu ziehen – etwas, dass für reelle Zahlen nicht definiert und damit auch nicht möglich ist.