Pfadregeln
Pfadregeln ermöglichen es uns, die Wahrscheinlichkeit von mehrstufigen Zufallsversuchen zu berechnen. Baumdiagramme werden dabei häufig benutzt um die Zufallsexperimente graphisch darzustellen. Die einzelnen Wegstücke des Baumdiagramms werden mit den Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse des entsprechenden Teilvorgangs beschriftet.
Pfadregeln ermöglichen es uns, die Wahrscheinlichkeit von mehrstufigen Zufallsversuchen zu berechnen. Baumdiagramme werden dabei häufig benutzt um die Zufallsexperimente graphisch darzustellen. Die einzelnen Wegstücke des Baumdiagramms werden mit den Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse des entsprechenden Teilvorgangs beschriftet.
Beispiel: Baumdiagramm
Nehmen wir an, in einer Urne befinden sich 7 Kugeln, 4 sind blau, die restlichen 3 rot. Es werden ohne Zurücklegen nacheinander 3 Kugel gezogen.
- Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei Kugeln blau sind?
- Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter den drei gezogenen Kugeln genau eine rote dabei ist?
Das Baudiagramm unten zeigt die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten, für diesen dreistufigen Zufallsversuch:
1. Pfadregel (Produktregel)
Die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses bei einem mehrstufigen Zufallsexperiment ist gleich dem Produkt aller Wahrscheinlichkeiten entlang des zugehörigen Pfades im Baumdiagramm.
Diese Pfadregel wird angewandt, wenn man Wahrscheinlichkeiten mit dem Wort UND verknüpft. Wir wollen wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass wir zuerst eine blaue Kugel ziehen und dann noch einen blaue und dann noch eine blaue.
Damit lässt sich die erste Frage beantworten: \( P\left ( \left \{ bbb \right \} \right ) = \frac{4}{7}\cdot \frac{3}{6}\cdot \frac{2}{5} = \mathbf{\frac{4}{35}} \approx 0,1143 \)
2. Pfadregel (Additionsregel)
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses in einem mehrstufigen Zufallsexperiment ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Pfade.
Diese Pfadregel wird angewandt, wenn man Wahrscheinlichkeiten mit dem Wort ODER verknüpft.
In der zweiten Aufgabe suchen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau eine rote Kugel gezogen wird. Wir müssen daher die Wahrscheinlichkeit dafür suchen, dass entweder die Kugeln blau, blau, rot ODER blau, rot, blau ODER rot, blau, blau gezogen werden. Oder in mathematischer Schreibweise:
