Beweis, dass die Wurzel aus 2 irrational ist

Es gibt viele Beweise, die sich mit der Irrationalität der Wurzel aus 2 beschäftigen. Der wahrscheinlich bekannteste ist der von Euklid.

Herleitung

1. Als erstes gehen wir von dem Gegenteil dessen, was wir beweisen wollen, aus, nämlich dass \( \sqrt{2} \) rational ist, sich also als Quotient zweier ganzer Zahlen darstellen lässt.
   
   \( \sqrt{2} = \dfrac{a}{b} \)
   
   Festzuhalten ist, dass der Bruch vereinfacht ist.
    
2. Wenn \( \sqrt{2} = \dfrac{a}{b} \) bedeutet das auch 
   
   \( \br{\dfrac{a}{b}}^2 = 2 \)
   
    
3. Umgeformt bedeutet dies:
   
   \( \begin{align} {\dfrac{a^2}{b^2}} &= 2 \\ \Rightarrow a^2 &= 2\,b^2 \end{align} \)
   
    
4. Daher folgt, dass a² eine gerade Zahl ist, da es gleich 2b² ist.
    
5. a muss daher eine gerade Zahl sein, da das Quadrat einer ungeraden Zahl niemals gerade ist.
    
6. Da a gerade ist, muss eine Zahl existieren, die der Gleichung a = 2k genügt.
    
7. Setzen wir nun 2k in die Gleichung aus Schritt 3 ein, so erhalten wir:
   
   \( \begin{align} \br{2\,k}^2 &= 2\,b^2 \\ \Rightarrow\; 4\,k^2 &= 2\,b^2 \end{align} \)
   
    
8. Da 2k² durch zwei teilbar ist und damit gerade, und weil 2k² = b, folgt daraus, dass auch b gerade sein muss.
    
9. Es wurde bewiesen (Schritte 5 und 8), dass sowohl a als auch b gerade Zahlen sind. Dies bedeutet aber auch, dass sich der Bruch aus beiden Zahlen weiter vereinfachen ließe. Dies widerspricht allerdings der Annahme aus Schritt 1, dass der Bruch bereits vereinfacht war.
   Q.E.D.