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randRange( 5, 7 )
180 * ( SIDES - 2 ) {}

Was ist die Summe der Innenwinkel des Polygons?

init({ range: [ [ -5, 5 ], [ -1, 5 ] ], scale: [ 40, 40 ] }); graph.polygon = new Polygon( SIDES ); graph.polygon.draw(); CLONE = graph.polygon.clone();
ANSWER \Large{^\circ}

Es gibt etliche Möglichkeiten diese Aufgabe zu lösen.

Merke: Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt 180^{\circ}.

Da das Polygon SIDES Seiten hat, können wir SIDES Dreiecke einzeichnen, welche sich im Zentrum treffen.

graph.polygon.drawRadialDiagonals();

Wir können die Innenwinkel aller Dreiecke zusammenzählen, müssen aber 360^{\circ} abziehen, da der Kreis in der Mitte extra ist.

\begin{align*}&SIDES \times 180^{\circ} - 360^{\circ} \\ &= SIDES * 180^{\circ} - 360^{\circ} \\ &= ANSWER^{\circ}\end{align*}

Ein alternativer Ansatz wäre folgender:

Wir können vier der cardinalThrough20( SIDES ) Seiten nehmen um zwei Dreiecke zu konstruieren, wie in orange gezeigt.

init({ range: [ [ -5, 5 ], [ -1, 5 ] ] }); graph.polygon = CLONE; graph.polygon.draw(); graph.polygon.drawDiagonals( randRange( 0, SIDES - 1 ) );

Es gibt eine Seite (blau) zwischen den orangefarbenen Dreiecken. Dies macht SIDES - 4 zusätzliche Dreiecke.

Es gibt SIDES - 4 Seiten (blau) zwischen den orangefarbenen Dreiecken.

Wir schnitten das Polygon in SIDES - 2 Dreiecke, jedes mit 180^{\circ} (Innenwinkel).

SIDES - 2 \times 180^{\circ} = ANSWER^{\circ}

Die Summe der Innenwinkel des Polygons ist ANSWER^{\circ}.

Was ist die Summe der Außenwinkel des Polygons?

init({ range: [ [ -6, 6 ], [ -2, 7 ] ] }); graph.polygon = new Polygon( SIDES ); graph.polygon.draw();
360 \Large{^\circ}

Die Außenwinkel sind oben eingezeichnet.

graph.polygon.drawExteriorAngles();
graph.polygon.animateExteriorAngles( randRange( 0, SIDES - 1 ) );

Die Außenwinkel passen so zusammen, dass sie einen Kreis bilden.

Daher ist die Summe der Außenwinkel 360^{\circ}.