Lade Daten...
3 makeMatrix([["a","b","c"],["d","e","f"],["g","h","i"]]) makeMatrix(randRange(0, 2, DIM, DIM)) matrixDet(MAT) matrixMinors(MAT) matrixMap(function(elem) { return matrixDet(elem); }, MAT_MINORS) matrixMap(function(elem, row, col) { var sign = (row + col) % 2 ? -1 : 1; return sign * elem; }, MAT_MINORS_DET) printSimpleMatrix(matrixMap(function(elem) { return printSimpleMatrixDet(elem); }, MAT_MINORS)) matrixTranspose(MAT_MINORS_DET_SIGNS)
matrixInverse(MAT) matrixPad(SOLN_MAT, 3, 3) printMatrix(function(a) { var sign = (a < 0) ? "-" : ""; var frac = toFraction(abs(a)); if (frac[1] === 1) { return sign + frac[0]; } return sign + "\\frac{" + frac[0] + "}{" + frac[1] + "}"; }, SOLN_MAT) "\\textbf " + randFromArray("ABCDEF")

PRETTY_MAT_ID = printSimpleMatrix(MAT)

Was ist PRETTY_MAT_ID^{-1}, die Inverse von PRETTY_MAT_ID?

elem elem

Die Antwort als Bruch oder (genaue) Kommazahl

Die Brüche müssen nicht gekürzt sein.

Die Inverse einer Matrix ist gleich die Adjunkte der Matrix geteilt durch Determinante der Matrix.

PRETTY_MAT_ID^{-1} = \frac{1}{\det(PRETTY_MAT_ID)}\mathrm{adj}(PRETTY_MAT_ID)

Schritt 1: Bestimme die Adjunkte

Als erstes konstruieren wir eine Matrix aus Minoren (Unterdeterminanten) von PRETTY_MAT_ID.

MAT_MINORS_FORMAT = printSimpleMatrix(MAT_MINORS_DET)

Als nächstes multiplizieren wir die Matrix aus Minoren mit folgendem Muster:

printSimpleMatrix([["+","-","+"],["-","+","-"],["+","-","+"]])

Das gibt uns eine Matrix aus Kofaktoren:

printSimpleMatrix(MAT_MINORS_DET_SIGNS)

Dann transponieren wir die Matrix um die Adjunkte von PRETTY_MAT_ID zu erhalten:

\mathrm{adj}(PRETTY_MAT_ID) = printSimpleMatrix(MAT_MINORS_DET_SIGNS)^T = printSimpleMatrix(MAT_ADJ, MatheguruHelper.BLUE)

Schritt 2: Bestimme die Determinante

Wir bestimmen die Determinante der Matrix PRETTY_MAT_ID. [Wie geht das?]

Die Determinante jeder 3×3 Matrix kann mit der Regel von Sarrus berechnet werden:

printSimpleMatrixDet(HINT_MAT) = matrix3x3DetHint(HINT_MAT, true)

= matrix3x3DetHint(HINT_MAT)

In diesem Fall wäre die Determinante:

printSimpleMatrixDet(MAT) = matrix3x3DetHint(MAT, true)

= matrix3x3DetHint(MAT)

= DET

\det(PRETTY_MAT_ID) = printSimpleMatrixDet(MAT)= expr(["color", MatheguruHelper.RED, DET])

Schritt 3: Alles Zusammenbringen

Nun, da wir die Adjunkte und die Determinante kennen, können wir die Matrix invertieren:

PRETTY_MAT_ID^{-1} = \frac{1}{expr(["color", MatheguruHelper.RED, DET])} printSimpleMatrix(MAT_ADJ, MatheguruHelper.BLUE)

= PRETTY_SOLN_MAT