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"Eine rationale Lösung" randRangeNonZero(-6, 6) * 2 randFromArray(getFactors(B * B / 4)) (B * B) / (4 * A) B * B - 4 * A * C

Beschreibe die Lösungen der folgenden quadratischen Gleichung:

\large expr(["+", ["*", A, ["^", "x", 2]], ["*", B, "x"], C]) = 0
ANSWER
  • Eine rationale Lösung
  • Zwei rationale Lösungen
  • Zwei irrationale Lösungen
  • Eine komplexe Lösung
  • Zwei komplexe Lösungen

Wir können die abc-Formel (Mitternachtsformel) benutzen, um zu sehen was die Lösungen der quadratischen Gleichung ist. Es geht aber auch einfacher...

\qquad x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

MatheguruHelper.processMath($("#quadratic")[0], "\\qquad x = \\dfrac{-b \\pm" + " \\sqrt{\\blue{b^2 - 4ac}}}{2a}", true);
Der Teil der abc-Formel, der uns Auskunft über die Anzahl und Art der Lösungen gibt, ist der Term unter der Wurzel. Dieser Teil heißt Diskriminante.

Wir setzen die Koeffizienten a, b, und c aus der quadratischen Gleichung in die Diskriminante ein:

\qquad\begin{array} && b^2-4ac \\ \\ =& B^2 - 4 ( A)(C) \\ \\ =& DISCRIMINANT \end{array}

Da \blue{b^2 - 4ac} = 0 wird die abc-Formel zu \dfrac{-b}{2a}, was bedeutet, dass nur eine rationale Lösung existiert.

Da \blue{b^2 - 4ac} negativ ist, ist dessen quadrat komplex. Die abc-Formel wird zu \dfrac{-b \pm \sqrt{DISCRIMINANT}}{2a}, was bedeutet, dass die quadratische Gleichung zwei komplexe Lösungen hat.

Da \blue{b^2 - 4ac} eine Quadratzahl ist, ist dessen Quadratwurzel eine rationale Zahl. Die abc-Formel vereinfacht sich zu \dfrac{-b \pm sqrt(DISCRIMINANT)}{2a} , daher existieren zwei rationale Lösungen.

Da \blue{b^2 - 4ac} keine Quadratzahl ist, ist dessen Quadratwurzel irrational und die abc-Formel wird zu \dfrac{-b \pm \sqrt{DISCRIMINANT}}{2a} , was bedeutet, das die quadratische Gleichung zwei irrationale Lösungen hat.

"Zwei rationale Lösungen"
randRangeNonZero(-9, 9) randRangeNonZero(-9, 9) randRangeNonZero(-9, 9) B * B - 4 * A * C
"Zwei irrationale Lösungen"
randRangeNonZero(-9, 9) randRangeNonZero(-9, 9) randRangeNonZero(-9, 9) B * B - 4 * A * C
"Zwei komplexe Lösungen"
randRangeNonZero(-9, 9) randRangeNonZero(-9, 9) randRangeNonZero(-9, 9) B * B - 4 * A * C