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Übung: Trigonometrischer Pythagoras

shuffle(["\\sin\\theta", "\\cos\\theta", "\\tan\\theta", "\\sec\\theta", "\\csc\\theta", "\\cot\\theta"]).slice(0,3) randFromArray(OPTIONS) random() < 0.5

\large (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)(FUNC) = \; ?
\large\dfrac{FUNC} {\sin^2 \theta + \cos^2 \theta} = \; ?

FUNC
  • op

Wir können folgende trigonometrische Identität verwenden \blue{\sin^2 \theta} + \orange{\cos^2 \theta} = 1 um den Ausdruck zu vereinfachen.

init({ range: [[-1.2, 1.2], [-1.3, 1.3]], scale: 130 }); with(MatheguruHelper.currentGraph) { style({ stroke: "#ddd", strokeWidth: 1, arrows: "->" }); circle([0, 0], 1); line([-1.2, 0], [1.2, 0]); line([0, -1.2], [0, 1.2]); line([1.2, 0], [-1.2, 0]); line([0, 1.2], [0, -1.2]); style({ strokeWidth: 2.5, arrows: "" }); ang = 2*Math.PI/3; line([0, 0], [cos(ang), sin(ang)], {stroke: "black"}); label([cos(ang)/2, sin(ang)/2], "1", "above right"); line([0, 0], [cos(ang), 0], {stroke: ORANGE}); label([cos(ang), sin(ang)/2], "\\blue{\\sin\\theta}", "left"); line([cos(ang), 0], [cos(ang), sin(ang)], {stroke: BLUE}); label([cos(ang)/2, 0], "\\orange{\\cos\\theta}", "below"); arc([0,0], 0.2, 0, 120, {stroke: "black", arrows: "->"}); label([0,0.1], "\\theta", "above right"); }

Wir können den Satz des Pythagoras verwenden, um zu sehen warum die Identität wahr ist.

Daher ist (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)(FUNC) = 1 \cdot FUNC = FUNC

Daher ist \dfrac{FUNC} {\sin^2 \theta + \cos^2 \theta} = \dfrac{FUNC}{1} = FUNC

random() < 0.5 random() < 0.5 SIN ? ["1 - \\sin^2\\theta", "\\cos^2\\theta"] : ["1 - \\cos^2\\theta", "\\sin^2\\theta"] trig.getOptionsResult(EQUIV, (MULT ? "*" : "/")) MULT ? trig.showSimplified(FUNC) : trig.showSimplified(FUNC, true)

\large (IDENT)(FUNC) = \; ?
\large\dfrac{IDENT}{FUNC} = \; ?

ANS
  • op

Wir können folgende trigonometrische Identität verwenden \blue{\sin^2 \theta} + \orange{\cos^2 \theta} = 1 um den Ausdruck zu vereinfachen.

init({ range: [[-1.2, 1.2], [-1.3, 1.3]], scale: 130 }); with(MatheguruHelper.currentGraph) { style({ stroke: "#ddd", strokeWidth: 1, arrows: "->" }); circle([0, 0], 1); line([-1.2, 0], [1.2, 0]); line([0, -1.2], [0, 1.2]); line([1.2, 0], [-1.2, 0]); line([0, 1.2], [0, -1.2]); style({ strokeWidth: 2.5, arrows: "" }); ang = 2*Math.PI/3; line([0, 0], [cos(ang), sin(ang)], {stroke: "black"}); label([cos(ang)/2, sin(ang)/2], "1", "above right"); line([0, 0], [cos(ang), 0], {stroke: ORANGE}); label([cos(ang), sin(ang)/2], "\\blue{\\sin\\theta}", "left"); line([cos(ang), 0], [cos(ang), sin(ang)], {stroke: BLUE}); label([cos(ang)/2, 0], "\\orange{\\cos\\theta}", "below"); arc([0,0], 0.2, 0, 120, {stroke: "black", arrows: "->"}); label([0,0.1], "\\theta", "above right"); }

Wir können den Satz des Pythagoras verwenden, um zu sehen warum die Identität wahr ist.

Daher ist IDENT = EQUIV

Durch Einsetzen erhalten wir:

\qquad (IDENT)(FUNC) = (EQUIV)(FUNC)

\qquad \dfrac{IDENT}{FUNC} = \dfrac{EQUIV}{FUNC}

Um das Vereinfachen leichter zu machen, schreiben wir den Ausdruck in Form von \sin und \cos um. FUNC = FUNC_SIMP, Durch Einsetzen erhalten wir

\qquad (EQUIV)(FUNC) = \left(EQUIV\right) \left(FUNC_SIMP\right)

\qquad \dfrac{EQUIV}{FUNC} = \dfrac{EQUIV}{FUNC_SIMP}

Das ist ANS.
random() < 0.5 random() < 0.5 TAN ? ["\\tan^2\\theta + 1", "\\sec^2\\theta"] : ["\\sec^2\\theta-1", "\\tan^2\\theta"] trig.getOptionsResult(EQUIV, (MULT ? "*" : "/")) [trig.showSimplified(FUNC, !MULT), trig.showSimplified(EQUIV, !MULT)] trig.showSimplified(ANS)

\large (IDENT)(FUNC) = \; ?
\large\dfrac{IDENT}{FUNC} = \; ?

ANS
  • op

We can derive a useful identity from \blue{\sin^2 \theta} + \orange{\cos^2 \theta} = 1 um den Ausdruck zu vereinfachen.

init({ range: [[-1.2, 1.2], [-1.3, 1.3]], scale: 130 }); with(MatheguruHelper.currentGraph) { style({ stroke: "#ddd", strokeWidth: 1, arrows: "->" }); circle([0, 0], 1); line([-1.2, 0], [1.2, 0]); line([0, -1.2], [0, 1.2]); line([1.2, 0], [-1.2, 0]); line([0, 1.2], [0, -1.2]); style({ strokeWidth: 2.5, arrows: "" }); ang = 2*Math.PI/3; line([0, 0], [cos(ang), sin(ang)], {stroke: "black"}); label([cos(ang)/2, sin(ang)/2], "1", "above right"); line([0, 0], [cos(ang), 0], {stroke: ORANGE}); label([cos(ang), sin(ang)/2], "\\blue{\\sin\\theta}", "left"); line([cos(ang), 0], [cos(ang), sin(ang)], {stroke: BLUE}); label([cos(ang)/2, 0], "\\orange{\\cos\\theta}", "below"); arc([0,0], 0.2, 0, 120, {stroke: "black", arrows: "->"}); label([0,0.1], "\\theta", "above right"); }

Wir können den Satz des Pythagoras verwenden, um zu sehen warum die Identität wahr ist.

Wir teilen beide Seiten durch \cos^2\theta und erhalten

\qquad \dfrac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} + \dfrac{\cos^2\theta}{\cos^2\theta} = \dfrac{1}{\cos^2\theta}

\qquad \tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta

\qquad IDENT = EQUIV

Durch Einsetzen erhalten wir

\qquad (IDENT)(FUNC) = \left(EQUIV\right) \left(FUNC\right)

\qquad \dfrac{IDENT}{FUNC} = \dfrac{EQUIV}{FUNC}

Um das Vereinfachen leichter zu machen, schreiben wir den Ausdruck in Form von \sin und \cos um. Wir wissen, dass EQUIV = EQUIV_SIMP und FUNC = FUNC_SIMP, durch Einsetzen erhalten wir

\qquad \left(EQUIV\right) \left(FUNC\right) = \left(EQUIV_SIMP\right) \left(FUNC_SIMP\right)

\qquad \dfrac{EQUIV}{FUNC} = \dfrac{EQUIV_SIMP}{FUNC_SIMP}

Um das Vereinfachen leichter zu machen, schreiben wir den Ausdruck in Form von \sin und \cos um. Wir wissen, dass EQUIV = EQUIV_SIMP, durch einsetzen erhalten wir

\qquad \left(EQUIV\right) \left(FUNC\right) = \left(EQUIV_SIMP\right) \left(FUNC_SIMP\right)

\qquad \dfrac{EQUIV}{FUNC} = \dfrac{EQUIV_SIMP}{FUNC_SIMP}

Das ist ANS_SIMP = ANS.
Das ist ANS.
random() < 0.5 random() < 0.5 COT ? ["1 + \\cot^2\\theta", "\\csc^2\\theta"] : ["\\csc^2\\theta-1", "\\cot^2\\theta"] trig.getOptionsResult(EQUIV, (MULT ? "*" : "/")) [trig.showSimplified(FUNC, !MULT), trig.showSimplified(EQUIV, !MULT)] trig.showSimplified(ANS)

\large (IDENT)(FUNC) = \; ?
\large\dfrac{IDENT}{FUNC} = \; ?

ANS
  • op

We can derive a useful identity from \blue{\sin^2 \theta} + \orange{\cos^2 \theta} = 1 um den Ausdruck zu vereinfachen.

init({ range: [[-1.2, 1.2], [-1.3, 1.3]], scale: 130 }); with(MatheguruHelper.currentGraph) { style({ stroke: "#ddd", strokeWidth: 1, arrows: "->" }); circle([0, 0], 1); line([-1.2, 0], [1.2, 0]); line([0, -1.2], [0, 1.2]); line([1.2, 0], [-1.2, 0]); line([0, 1.2], [0, -1.2]); style({ strokeWidth: 2.5, arrows: "" }); ang = 2*Math.PI/3; line([0, 0], [cos(ang), sin(ang)], {stroke: "black"}); label([cos(ang)/2, sin(ang)/2], "1", "above right"); line([0, 0], [cos(ang), 0], {stroke: ORANGE}); label([cos(ang), sin(ang)/2], "\\blue{\\sin\\theta}", "left"); line([cos(ang), 0], [cos(ang), sin(ang)], {stroke: BLUE}); label([cos(ang)/2, 0], "\\orange{\\cos\\theta}", "below"); arc([0,0], 0.2, 0, 120, {stroke: "black", arrows: "->"}); label([0,0.1], "\\theta", "above right"); }

Wir können den Satz des Pythagoras verwenden, um zu sehen warum die Identität wahr ist.

Wir teilen beide Seiten durch \sin^2\theta und erhalten

\qquad \dfrac{\sin^2\theta}{\sin^2\theta} + \dfrac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta} = \dfrac{1}{\sin^2\theta}

\qquad 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta

\qquad IDENT = EQUIV

Durch Einsetzen erhalten wir

\qquad (IDENT)(FUNC) = \left(EQUIV\right) \left(FUNC\right)

\qquad \dfrac{IDENT}{FUNC} = \dfrac{EQUIV}{FUNC}

Um das Vereinfachen leichter zu machen, schreiben wir den Ausdruck in Form von \sin und \cos um. Wir wissen, dass EQUIV = EQUIV_SIMP und FUNC = FUNC_SIMP, durch Einsetzen erhalten wir

\qquad \left(EQUIV\right) \left(FUNC\right) = \left(EQUIV_SIMP\right) \left(FUNC_SIMP\right)

\qquad \dfrac{EQUIV}{FUNC} = \dfrac{EQUIV_SIMP}{FUNC_SIMP}

Um das Vereinfachen leichter zu machen, schreiben wir den Ausdruck in Form von \sin und \cos um. Wir wissen, dass EQUIV = EQUIV_SIMP, durch Einsetzen erhalten wir

\qquad \left(EQUIV\right) \left(FUNC\right) = \left(EQUIV_SIMP\right) \left(FUNC_SIMP\right)

\qquad \dfrac{EQUIV}{FUNC} = \dfrac{EQUIV_SIMP}{FUNC_SIMP}

Das ist ANS_SIMP = ANS.
Das ist ANS.