Übung: Steigung von Geraden

randRange(-9, 9) randRange(-9, 9) randRange(-9, 9) randRange(-9, 9) (Y1 - Y2) / (X1 - X2) randRange( 0, 1 )

Was ist die Steigung der Gerade die durch die Punkte (X1, Y1) und (X2, Y2) geht?

graphInit({ range: 10, scale: 20, tickStep: 1, labelStep: 1, unityLabels: false, labelFormat: function( s ) { return "\\small{" + s + "}"; }, axisArrows: "<->" }); line( [X1 - 19, Y1 - 19 * M], [X2 + 19, Y2 + 19 * M], { stroke: "#888" } ); style({ fill: PURPLE, stroke: PURPLE }); circle( [X1, Y1], 3/20 ); style({ fill: BLUE, stroke: BLUE }); circle( [X2, Y2], 3/20 );

(Y1 - Y2) / (X1 - X2)

Man kann sich die Steigung als Flugzeug vorstellen, dass sich links nach rechts fliegt. Wenn das Flugzeug abhebt \color{BLUE}{\boldsymbol{/}} ist die Steigung positiv. Wenn das Flugzeug landet \color{GREEN}{\boldsymbol{\backslash}}, ist die Steigung negativ. Wenn das Flugzeug normale Flughöhe \color{ORANGE}{\boldsymbol{-\!\!\!\!-}} erreicht hat, ist die Steigung 0.

graphInit({ range: 4, scale: 20, tickStep: 1, labelStep: false }); style({ fill: BLUE, stroke: BLUE }); line( [ -1,-1 ], [ 1,4 ] ); label([0,-4], "\\color{" + BLUE + "}{\\text{" + $._("Flugzeug hebt ab") + "}}", "below");

graphInit({ range: 4, scale: 20, tickStep: 1, labelStep: false }); style({ fill: GREEN, stroke: GREEN }); line( [ 0, 2 ], [ 2, -1 ] ); label([0,-4], "\\color{" + GREEN + "}{\\text{" + $._("Flugzeug landet") + "}}", "below");

Je schneller das Flugzeug abhebt, desto steiler ist die Steigung, was bedeutet, dass die Zahl größer sein wird, als wenn das Flugzeug langsam abhebt. Je schneller das Flugzeug landet, desto steiler die negative Steigung, was bedeutet, dass die Steigung kleiner sein wird, wenn es langsam landet.

graphInit({ range: 10, scale: 20, tickStep: 1, labelStep: 1, unityLabels: false, labelFormat: function( s ) { return "\\small{" + s + "}"; }, axisArrows: "<->" }); line( [X1 - 19, Y1 - 19 * M], [X2 + 19, Y2 + 19 * M], { stroke: "#888" } ); style({ fill: ORANGE, stroke: ORANGE }); circle( [X1, Y1], 3/20 ); style({ fill: BLUE, stroke: BLUE }); circle( [X2, Y2], 3/20 );

Die Formel der Steigung ist m = \dfrac{\color{BLUE}{y_2} - \color{ORANGE}{y_1}}{\color{BLUE}{x_2} - \color{ORANGE}{x_1}} für die Punkte (\color{ORANGE}{X1}, \color{ORANGE}{Y1}) und (\color{BLUE}{X2}, \color{BLUE}{Y2}).

style({ fill: "", stroke: PINK }); line( [ X1, Y2 ], [ X2, Y2 ] ); style({ stroke: GREEN }); line( [ X1, Y1 ], [ X1, Y2 ] );

Durch Einsetzen erhalten wir m = \dfrac{\color{BLUE}{Y2} - \color{ORANGE}{negParens(Y1)}}{\color{BLUE}{X2} - \color{ORANGE}{negParens(X1)}} = \dfrac{\color{GREEN}{Y2 - Y1}}{\color{PINK}{X2 - X1}}

Daher ist die Steigung m gleich fractionReduce( Y2 - Y1, X2 - X1 ).

[ { name: $._("blau"), hex: MatheguruHelper.BLUE }, { name: $._("orange"), hex: MatheguruHelper.ORANGE }, { name: $._("rot"), hex: MatheguruHelper.RED }, { name: $._("pink"), hex: MatheguruHelper.PINK } ] randRange( 2, 5 ) [ { value: M_INIT, display: M_INIT }, { value: -1 * M_INIT, display: "-" + M_INIT }, { value: 1 / M_INIT, display: "\\dfrac{1}{" + M_INIT + "}" }, { value: -1 / M_INIT, display: "-\\dfrac{1}{" + M_INIT + "}" } ] randRange( -3, 3 ) randRange( 0, 3 ) [ 0, 1, 2, 3 ] SLOPES[WHICH] $._("orange") $._("pink") $._("blau") $._("rot")

Welcher Graph zeigt eine Gerade mit einer Steigung von M.display?

graphInit({ range: 6, scale: 16.9, tickStep: 1, labelStep: 1, labelFormat: function( s ) { return "\\small{" + s + "}"; }, axisArrows: "<->" }); style({ stroke: COLORS[index].hex }); label([0,-6], "\\color{" + COLORS[index].hex + "}" + "{\\text{" + COLORS[index].name + "}}", "below"); plot(function( x ) { return ( x - 1 ) * SLOPES[index].value + B; }, [ -11, 11 ]);

\quad \color{COLORS[WHICH].hex}{\text{COLORS[WHICH].name}}

\quad \color{COLORS[index].hex}{\text{COLORS[index].name}}

Die Steigung entspricht der Richtung in die sich die Gerade neigt und wie viel sie sich neigt.

Da M.display negativ ist, neigt sich die Gerade nach unten, je weiter wir ihr nach rechts folgen.

Die Antwort muss daher entweder die Gerade in \orange{\text{ORANGE_TEXT}} oder die Gerade in \pink{\text{PINK_TEXT}} sein.

Da M.display positiv ist, steigt die Gerade nach oben, je weiter wir ihr nach rechts folgen.

Die Antwort muss daher entweder die Gerade in \blue{\text{BLUE_TEXT}} oder die Gerade in \red{\text{GREEN_TEXT}} sein.

In welchem Graph ändert sich der Wert von y um M.display, wenn sich der Wert von x um 1 ändert?

Die Gerade in \color{COLORS[WHICH].hex}{\text{COLORS[WHICH].name.toLowerCase()}} zeigt eine Gerade mit einer Steigung von M.display.

[ { value: M_INIT, display: M_INIT }, { value: 0, display: 0 }, { value: 999, display: "undefined" }, { value: 1 / M_INIT, display: "\\dfrac{1}{" + M_INIT + "}" } ] randRange( 1, 2 ) SLOPES[WHICH]

Welche Graph zeigt eine Gerade mit einer Steigung von M.display?Die Steigung von welchem Graph ist nicht definiert?

Die Steigung entspricht der Richtung in die sich die Gerade neigt und wie viel sie sich neigt.

Man kann sich das Besteigen eines Berges als Gerade vorstellen. Eine größere Steigung bedeutet, dass der Berg steiler ist.

Eine Steigung von M.display bedeutet, dass dort gar kein Berg ist und der Graph sollte flach sein.

Eine Steigung von M.display ist eine vertikale Gerade, welches ein unmöglich, unendlich steiler Berg ist.

Die Gerade in \color{COLORS[WHICH].hex}{\text{COLORS[WHICH].name.toLowerCase()}} zeigt eine Gerade mit nicht-definierter Steigung.

Die Gerade in \color{COLORS[WHICH].hex}{\text{COLORS[WHICH].name.toLowerCase()}} zeigt eine Gerade mit einer Steigung von M.display.