Übung: Regel von L’Hôpital

randFromArray([ 0, Infinity ]) { 0: "0", "Infinity": "\\infty" }[ APPROACHES ] "\\frac" + { 0: "{0}{0}", "Infinity": "{\\infty}{\\infty}" }[ APPROACHES ] MatheguruHelper.randRange( 2, 3 ) new MatheguruHelper.Polynomial( DEGREE - 1, DEGREE, MatheguruHelper.randCoefs( DEGREE - 1, DEGREE ), "x" ) new MatheguruHelper.Polynomial( DEGREE - 1, DEGREE, MatheguruHelper.randCoefs( DEGREE - 1, DEGREE ), "x" ) (function() { var steps = [[ NUMERATOR, DENOMINATOR ]]; var n = NUMERATOR, d = DENOMINATOR; while ( d.findMinDegree() !== 0 || ( APPROACHES === 0 ? false : d.findMaxDegree() !== 0 ) ) { n = MatheguruHelper.ddxPolynomial( n ); d = MatheguruHelper.ddxPolynomial( d ); steps.push([ n, d ]); } return steps; })() STEPS[ STEPS.length - 1 ][ 0 ] STEPS[ STEPS.length - 1 ][ 1 ] SLN_NUMERATOR_TEXT.evalOf( 0 ) SLN_DENOMINATOR_TEXT.evalOf( 0 ) reduces( SLN_NUMERATOR, SLN_DENOMINATOR ) || SLN_NUMERATOR < 0 || SLN_DENOMINATOR < 0 || abs( SLN_DENOMINATOR ) === 1

\large\displaystyle \lim_{x \to APPROACHES_TEXT} \frac{NUMERATOR}{DENOMINATOR} = {?}

SLN_NUMERATOR / SLN_DENOMINATOR

Die Regel von L'Hopital sagt, dass weil \displaystyle \lim_{x \to APPROACHES_TEXT} \frac{NUMERATOR}{DENOMINATOR} = INDETERMINATE_FORM,
wenn \displaystyle \lim_{x \to APPROACHES_TEXT} \frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} (NUMERATOR)}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} (DENOMINATOR)} existiert, wird dessen Grenzwert uns den eigentlich gesuchten Grenzwert geben.

Wir müssen die Regel von L'Hopital so lange anwenden, bis wir keinen unbestimmten Ausdruck mehr erhalten:

Da der Grenzwert immer noch ein unbestimmter Ausdruck, INDETERMINATE_FORM, ist, müssen wir die Regel von L'Hopital erneut anwenden:

\displaystyle\frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} (STEP[0])}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} (STEP[1])} = \frac{STEPS[N+1][0]}{STEPS[N+1][1]}

Den Grenzwert berechnen: \displaystyle \lim_{x \to APPROACHES_TEXT} \frac{SLN_NUMERATOR_TEXT.text()}{SLN_DENOMINATOR_TEXT.text()} = \frac{SLN_NUMERATOR_TEXT.text().replace("x", "(0)")}{SLN_DENOMINATOR_TEXT.text().replace("x", "(0)")} = \frac{SLN_NUMERATOR}{SLN_DENOMINATOR} = fractionReduce( SLN_NUMERATOR, SLN_DENOMINATOR )

Daher ist \displaystyle \lim_{x \to APPROACHES_TEXT} \frac{NUMERATOR}{DENOMINATOR} = fractionReduce( SLN_NUMERATOR, SLN_DENOMINATOR )