a
x-a
+a
x-a
Übung: Partialbruchzerlegung
randRangeNonZero(-5, 5)
randRangeNonZero(-5, 5)
randRangeNonZero(-5, 5)
randRangeNonZero(-5, 5)
A + B
-A * D - B * C
expr(["+", ["*", E, "x"], F])
expr(C === -D ?
["+", "x^2", C*D] :
["+", "x^2", ["*", -C - D, "x"], C*D]
)
expr(["+", "x", -C])
expr(["+", "x", -D])
Schreibe
\large\dfrac{NUMER}{DENOM}
mithilfe der Partialbruchzerlegung in Teilbrüche.
A
B
C
D
A
C
B
D
Zunächst faktorisiere den Nenner, um die Nenner der beiden Brüche, in die unser Bruch aufgeteilt werden soll, zu finden.
DENOM =
(ADENOM)(BDENOM)
Da der ursprüngliche Nenner in zwei Teile faktorisiert werden kann, können wir den ursprünglichen Bruch als Summe zweier Brüche schreiben, deren Nenner wir gerade bestimmt haben.
\dfrac{NUMER}{
(ADENOM)(BDENOM)
} =
\dfrac{?}{ADENOM} +
\dfrac{?}{BDENOM}
Nun ersetzen wir die Zähler mit Polynomen ein Grads weniger als der Grad des Polynoms in dem Nenner.
In unserem Fall haben beide Zähler eines Grad von 1, daher ersetzen wir beide Zähler mit Polynomen des Grads 0 (daher einer Konstanten). Wir verwenden die Konstanten A und B
\dfrac{NUMER}{
(ADENOM)(BDENOM)
} =
\dfrac{A}{ADENOM} +
\dfrac{B}{BDENOM}
Um die Brüche zu eliminieren, müssen wir mit einem gemeinsamen Nenner multiplizieren:
(ADENOM)(BDENOM).
NUMER =
A(BDENOM) + B(ADENOM)
Als nächstes lösen wir nach A und B auf. Am einfachsten ist es, wenn wir Werte für x wählen, für die eine der beiden Summanden mit A oder B null wird, und dann für den anderen aufzulösen (ein Produkt ist immer dann null, einer der Faktoren null ist).
Als ersten versuchen wir B zu eliminieren. Wenn wir C für x wählen, wird der Term mit B null und es bleibt:
expr(["+", E * C, F]) =
A(expr(["+", C, -D]))
E * C + F =
expr(["*", C - D, "A"])
A=A
Dasselbe können wir tun, um nach B aufzulösen, aber stattdessen wählen wir D für x:
expr(["+", E * D, F]) =
B(expr(["+", D, -C]))
E * D + F =
expr(["*", D - C, "B"])
B=B
Als Letztes setzen wir die Werte wieder in unsere Brüche ein und erhalten:
\dfrac{NUMER}{DENOM} =
\dfrac{A}{ADENOM} +
\dfrac{B}{BDENOM}