Übung: Grenzwerte #2
Bestimme \displaystyle\large\lim_{x \to PM\infty}\dfrac{NUM.text()}{DEN.text()}.
fractionReduce( NUM.getCoefAndDegreeForTerm(0).coef, DEN.getCoefAndDegreeForTerm(0).coef )
fractionReduce( -NUM.getCoefAndDegreeForTerm(0).coef, DEN.getCoefAndDegreeForTerm(0).coef )+\infty-\infty0- nicht definiert
Als erstes müssen wir die Leitkoeffizienten betrachten: expr(NUM.expr()[1]) und expr(DEN.expr()[1]).
Da beide Leitkoeffizienten den selben Grad, DEG, haben, ist der Grenzwert gleich dem Quotienten der beiden Koeffizienten.
\displaystyle\large\lim_{x \to PM\infty}\dfrac{NUM.text()}{DEN.text()} = fractionSimplification( NUM.coefs[DEG], DEN.coefs[DEG] )
Bestimme \displaystyle\large\lim_{x \to PM\infty}\dfrac{NUM.text()}{DEN.text()}.
0
fractionReduce( NUM.getCoefAndDegreeForTerm(0).coef, DEN.getCoefAndDegreeForTerm(0).coef )fractionReduce( -NUM.getCoefAndDegreeForTerm(0).coef, DEN.getCoefAndDegreeForTerm(0).coef )+\infty-\infty- nicht definiert
Als erstes müssen wir die Leitkoeffizienten betrachten: expr(NUM.expr()[1]) und expr(DEN.expr()[1]).
Weil der Grad des Leitkoeffizienten im Zähler NUM.getCoefAndDegreeForTerm(0).degree geringer ist als der Grad des Leitkoeffizienten im Nenner DEN.getCoefAndDegreeForTerm(0).degree, dominiert der untere Term wenn x sich PM\infty nähert.
Da der Nenner schneller wächst als der Zähler, ist der Grenzwert 0.
Bestimme \displaystyle\large\lim_{x \to \infty}\dfrac{NUM.text()}{DEN.text()}.
RIGHT_SIGN\infty
fractionReduce( NUM.getCoefAndDegreeForTerm(0).coef, DEN.getCoefAndDegreeForTerm(0).coef )fractionReduce( -NUM.getCoefAndDegreeForTerm(0).coef, DEN.getCoefAndDegreeForTerm(0).coef )WRONG_SIGN\infty0- nicht definiert
Als erstes müssen wir die Leitkoeffizienten betrachten: expr(NUM.expr()[1]) and expr(DEN.expr()[1]).
Für x \to \infty nähert sich der Zähler -\infty weil der Koeffizient NUM.getCoefAndDegreeForTerm(0).coef negativ ist.
Für x \to \infty nähert sich der Zähler \infty weil der Koeffizient NUM.getCoefAndDegreeForTerm(0).coef positiv ist.
Für x \to \infty nähert sich der Nenner ebenfalls -\infty weil der Koeffizient DEN.getCoefAndDegreeForTerm(0).coef negativ ist.
Für x \to \infty nähert sich der Nenner ebenfalls \infty weil der Koeffizient DEN.getCoefAndDegreeForTerm(0).coef positiv ist.
Weil der Grad des Zählers NUM.getCoefAndDegreeForTerm(0).degree größer ist der Grad des Nenners DEN.getCoefAndDegreeForTerm(0).degree, divergiert der Grenzwert.
Zähler und Nenner haben das selbe Vorzeichen wenn x wächst, daher ist der Grenzwert +\infty.
Zähler und Nenner haben verschiedene Vorzeichen, wenn x wächst, daher ist der Grenzwert -\infty.
Bestimme \displaystyle\large\lim_{x \to K}\dfrac{A}{x + -K}.
nicht definiert
fractionReduce( A, K )fractionReduce( A, -K )+\infty-\infty0
Betrachten wir das Verhalten der Funktion für x \to K von beiden Seiten.
Wenn x sich K von links nähert, fängt x + -K im Negativen an und wächst wenn es sich 0 nähert, sodass \dfrac{A}{x + -K} sich SIGN_LIM_LEFT\infty nähert.
Wenn x sich K von rechts nähert, fängt x + -K im Positiven an und fällt wenn es sich, während es sich 0 nähert, sodass \dfrac{A}{x + -K} sich SIGN_LIM_RIGHT\infty nähert.
Da der linksseitige- und rechtsseitige Grenzwert verschieden ist, ist der Grenzwert nicht definiert.
Bestimme \displaystyle\large\lim_{x \to K}\dfrac{A}{(x + -K\smash{)}^2}.
RIGHT_SIGN\infty
fractionReduce( A, K * K )fractionReduce( A, -K * K )WRONG_SIGN\infty0- nicht definiert
Betrachten wir das Verhalten der Funktion für x \to K von beiden Seiten.
Von beiden Seiten aus betrachtet nähert (x + -K)^2 sich 0, sodass \dfrac{A}{(x + -K\smash{)}^2} divergiert.
Da (x + -K)^2 immer positiv ist und A positiv ist, nähert \dfrac{A}{(x + -K\smash{)}^2} sich RIGHT_SIGN\infty.
Da (x + -K)^2 immer positiv ist und A negativ ist, nähert \dfrac{A}{(x + -K\smash{)}^2} sich RIGHT_SIGN\infty.