Übung: Gleichungen nach einer Variable auflösen

"abcdefghijklmnpqrstuvwxyz" randRange( 0, LETTERS.length - 3 ) LETTERS[ LETTER + 0 ] LETTERS[ LETTER + 1 ] LETTERS[ LETTER + 2 ]

randRangeNonZero( -10, 10 ) randRangeNonZero( -10, 10 ) randRangeNonZero( -10, 10 ) randRangeNonZero( -10, 10 ) randRangeNonZero( -10, 10 ) randRangeNonZero( -10, 10 ) randRangeNonZero( -10, 10 ) random() < 0.5 random() < 0.5 G + X + ( X_HAS_Y ? Y : "" ) + ( X_HAS_Z ? Z : "" ) ( X_HAS_Y ? Y : "" ) + ( X_HAS_Z ? Z : "" ) getGCD( getGCD( abs( G ), abs( D-A ) ), getGCD( abs( E-B ), abs( F-C ) ) ) ( G < 0 ? -1 : 1 ) / GCD function( y, z, c, d ) { return X + "= \\dfrac{" + plus( round( DIVISOR*y )+Y, round( DIVISOR*z )+Z, round( DIVISOR*c ) ) + "}{" + plus( round( DIVISOR*d )+X_EXTRAS ) + "}"; }

\large plus( X_TERM, A+Y, B+Z, C ) = plus( D+Y, E+Z, F )

Löse nach X auf.

ANSWER( D-A, E-B, F-C, G )

ANSWER( D+A, E-B, F-C, G )
ANSWER( D-A, E+B, F-C, G )
ANSWER( D-A, E-B, F+C, G )

ANSWER( D+A, E+B, F-C, G )
ANSWER( D+A, E-B, F+C, G )
ANSWER( D-A, E+B, F+C, G )

ANSWER( D+A, E+B, F+C, G )

Alle Konstanten auf der rechten Seite zusammenfassen.

plus( X_TERM, A+Y, B+Z, color_( C, true ) ) = plus( D+Y, E+Z, color_( F, true ) )

plus( X_TERM, A+Y, B+Z ) = plus( D+Y, E+Z, color_( F-C, true ) )

Die Terme mit Z auf der rechten Seite zusammenfassen.

plus( X_TERM, A+Y, color_( B+Z, false ) ) = plus( D+Y, color_( E+Z, false ), F-C )

plus( X_TERM, A+Y ) = plus( D+Y, color_( (E-B)+Z, false ), F-C )

Die Terme mit Y auf der rechten Seite zusammenfassen.

plus( X_TERM, color_( A+Y, true ) ) = plus( color_( D+Y, true ), (E-B)+Z, F-C )

plus( X_TERM ) = plus( color_( (D-A)+Y, true ), (E-B)+Z, F-C )

Isoliere X.

plus( color_( G, false ) + X + color_( X_EXTRAS, false ) ) = plus( (D-A)+Y, (E-B)+Z, F-C )

X = \dfrac{ plus( (D-A)+Y, (E-B)+Z, F-C ) }{ plus( color_( G + X_EXTRAS, false ) ) }

Alle diese Terme sind durch GCD, den größten gemeinsamen Teiler, teilbar.

Teile durch den größten gemeinsamen Teiler und tausche die Vorzeichen damit der Nenner nicht negativ ist.

Teile durch einen gemeinsamen Teiler.

Tausche die Vorzeichen damit der Nenner nicht negativ ist.

X = \dfrac{ plus( color_( round( DIVISOR*(D-A) ), true )+Y, color_( round( DIVISOR*(E-B) ), true )+Z, color_( round( DIVISOR*(F-C) ), true ) ) }{ plus( color_( round( DIVISOR*G )+X_EXTRAS, true ) ) }

randRangeNonZero( -10, 10 ) randRangeNonZero( -10, 10 ) randRangeNonZero( -10, 10 ) randRangeNonZero( -10, 10 ) randRangeNonZero( -10, 10 ) randRangeNonZero( -10, 10 ) function( y1, c, y2, z, d, flip ) { if ( typeof flip === "undefined" ? FLIP : flip ) { y1 = -y1; c = -c; y2 = -y2; z = -z; d = -d; } return X + "= \\dfrac{" + plus( y1+Y, c ) + "}{" + plus( y2+Y, z+Z, d ) + "}"; } (function() { var n = 0, ns = [ E, F-D, A, B, C ]; for( var i = 0; i < ns.length; i++ ) { if (ns[ i ] < 0 ) { n++; } } return n >= 3; })()

\large plus( A+X+Y, B+X+Z, C+X, D ) = plus( E+Y, F )

Löse nach X auf.

ANSWER( E, F-D, A, B, C )

ANSWER( E, F+D, A, B, C )
ANSWER( 0, F-D, A, B, C )
ANSWER( E, 0, A, B, C )

ANSWER( E, F-D, 0, B, C )
ANSWER( E, F-D, A, 0, C )
ANSWER( E, F-D, A, B, 0 )

ANSWER( E+A, F-D, A, B, C )
ANSWER( E-A, F-D, A, B, C )
ANSWER( E, F-D, A+B, B, C )

ANSWER( E, F-D, A-B, B, C )
ANSWER( E, F-D, A, A+B, C )
ANSWER( E, F-D, A, A-B, C )

ANSWER( E, F-D, A, B, A+C )
ANSWER( E, F-D, A, B, A-C )

Alle Konstanten auf der rechten Seite zusammenfassen.

plus( A+X+Y, B+X+Z, C+X, color_( D, true ) ) = plus( E+Y, color_( F, true ) )

plus( A+X+Y, B+X+Z, C+X ) = plus( E+Y, color_( F-D, true ) )

Merke: alle Terme auf der rechten Seite haben X als Faktor.

plus( A+color_( X, false )+Y, B+color_( X, false )+Z, C+color_( X, false ) ) = plus( E+Y, F-D )

Faktorisiere X.

color_( X, false ) \cdot \left( plus( A+Y, B+Z, C ) \right) = plus( E+Y, F-D )

Isoliere X.

X \cdot \left( color_( plus( A+Y, B+Z, C ), true ) \right) = plus( E+Y, F-D )

X = \dfrac{ plus( E+Y, F-D ) }{ color_( plus( A+Y, B+Z, C ), true ) }

Wir können den Term vereinfachen indem wir Zähler und Nenner mit -1 multiplizieren.

ANSWER( E, F-D, A, B, C )

randRangeNonZero( -10, 10 ) randRangeNonZero( -10, 10 ) randRangeExclude( -10, 10, [ 0, -1, 1 ] ) randRangeNonZero( -10, 10 ) randRangeNonZero( -10, 10 ) randRangeExclude( -10, 10, [ 0, -1, 1 ] ) ( function() { if ( C === F || C === -F || C % F === 0 ) { return A; } else { return A*F; } })() ( function() { if ( C === F || C === -F || C % F === 0 ) { return B; } else { return B*F; } })() ( function() { if ( C === F ) { return D; } else if ( C === -F ) { return -D; } else if ( C % F === 0 ) { return D*(C/F); } else { return D*C; } })() ( function() { if ( C === F ) { return E; } else if ( C === -F ) { return -E; } else if ( C % F === 0 ) { return E*(C/F); } else { return E*C; } })() getGCD( getGCD( abs( E_TERM ), abs( B_TERM ) ), abs( A_TERM - D_TERM ) ) ( A_TERM-D_TERM < 0 ? -1 : 1 ) / GCD function( z, y, c ) { return X + " = \\dfrac{" + plus( round( z*DIVISOR )+Z, round( y*DIVISOR )+Y ) + "}{" + round( c*DIVISOR ) + "}"; }

\large\dfrac{ plus( A+X, B+Y ) }{ C } = \dfrac{ plus( D+X, E+Z ) }{ F }

Löse nach X auf.

ANSWER( E_TERM, -B_TERM, A_TERM-D_TERM )

ANSWER( E_TERM, B_TERM, A_TERM-D_TERM )

ANSWER( -E_TERM, -B_TERM, A_TERM-D_TERM )
ANSWER( -E_TERM, B_TERM, A_TERM-D_TERM )
- ANSWER( E_TERM, -B_TERM, A_TERM+D_TERM )
- ANSWER( E_TERM, B_TERM, A_TERM+D_TERM )
- ANSWER( -E_TERM, -B_TERM, A_TERM+D_TERM )
- ANSWER( -E_TERM, B_TERM, A_TERM+D_TERM )
- ANSWER( E_TERM, -B_TERM, -A_TERM-D_TERM )
- ANSWER( E_TERM, B_TERM, -A_TERM-D_TERM )
- ANSWER( -E_TERM, B_TERM, -A_TERM-D_TERM )
- ANSWER( -E_TERM, -B_TERM, -A_TERM-D_TERM )

Merke: die Nenner links und recht sind gleichGegenzahlen.

\dfrac{ plus( A+X, B+Y ) }{ color_( C, true ) } = \dfrac{ plus( D+X, E+Z ) }{ color_( F, true ) }

Daher multiplizieren wir beide Seiten mit C.

color_( C, true ) \cdot \dfrac{ plus( A+X, B+Y ) }{ color_( C, true ) } = color_( C, true ) \cdot \dfrac{ plus( D+X, E+Z ) }{ color_( F, true ) }

plus( A+X, B+Y ) = plus( D+X, E+Z ) color_( "-", true ) \cdot \left( plus( D+X, E+Z ) \right)

Negative Vorzeichen auf der rechten Seite in die Klammer multiplizieren.

plus( A+X, B+Y ) = plus( D_TERM+X, E_TERM+Z )

plus( color_( A_TERM, true )+X, color_( B_TERM, true )+Y ) = plus( color_( D_TERM, true )+X, color_( E_TERM, true )+Z )

Multipliziere beide Seiten mit dem linken Nenner.

\dfrac{ plus( A+X, B+Y ) }{ color_( C, true ) } = \dfrac{ plus( D+X, E+Z ) }{ F }

color_( C, true ) \cdot \dfrac{ plus( A+X, B+Y ) }{ color_( C, true ) } = color_( C, true ) \cdot \dfrac{ plus( D+X, E+Z ) }{ F }

plus( A+X, B+Y ) = color_( C, true ) \cdot \dfrac { plus( D+X, E+Z ) }{ F }

Die rechte Seite zusammenfassen.

plus( A+X, B+Y ) = color_( C, false ) \cdot \dfrac{ plus( D+X, E+Z ) }{ color_( F, false ) }

plus( A+X, B+Y ) = color_( C / F, false ) \cdot \left( plus( D+X, E+Z ) \right)

Multipliziere beide Seiten mit dem rechten Nenner.

plus( A+X, B+Y ) = C \cdot \dfrac{ plus( D+X, E+Z ) }{ color_( F, false ) }

color_( F, false ) \cdot \left( plus( A+X, B+Y ) \right) = color_( F, false ) \cdot C \cdot \dfrac{ plus( D+X, E+Z ) }{ color_( F, false ) }

color_( F, false ) \cdot \left( plus( A+X, B+Y ) \right) = C \cdot \left( plus( D+X, E+Z ) \right)

Klammern auf der rechten Seite auflösen.

plus( A+X, B+Y ) = color_( C / F, true ) \cdot \left( plus( color_( D+X, true ), color_( E+Z, true ) ) \right)

color_( F, true ) \cdot \left( plus( A+X, B+Y ) \right) = color_( C, true ) \cdot \left( plus( D+X, E+Z ) \right)

plus( A_TERM+X, B_TERM+Y ) = plus( color_( D_TERM, true )+X, color_( E_TERM, true )+Z )

plus( color_( A_TERM, true )+X, color_( B_TERM, true )+Y ) = plus( color_( D_TERM, true )+X, color_( E_TERM, true )+Z )

Fasse alle Terme mit X auf der linken Seite zusammen.

plus( color_( A_TERM+X, false ), B_TERM+Y ) = plus( color_( D_TERM+X, false ), E_TERM+Z )

plus( color_( (A_TERM-D_TERM)+X, false ), (B_TERM)+Y ) = (E_TERM)+Z

Y auf die rechte Seite bringen.

plus( (A_TERM-D_TERM)+X, color_( B_TERM+Y, true ) ) = E_TERM+Z

(A_TERM-D_TERM)+X = plus( E_TERM+Z, color_( (-B_TERM)+Y, true ) )

Isoliere X, indem beide Seiten durch ihren Koeffizienten geteilt werden.

color_( A_TERM-D_TERM, false )+X = plus( E_TERM+Z, (-B_TERM)+Y )

X = \dfrac{ plus( E_TERM+Z, (-B_TERM)+Y ) }{ color_( A_TERM-D_TERM, false ) }

Alle diese Terme sind durch GCD, den größten gemeinsamen Teiler, teilbar.

Teile durch den größten gemeinsamen Teiler und tausche die Vorzeichen damit der Nenner nicht negativ ist.

Teile durch einen gemeinsamen Teiler.

Tausche die Vorzeichen damit der Nenner nicht negativ ist.

X = \dfrac{ plus( color_( round( E_TERM*DIVISOR ), true )+Z, color_( round( -B_TERM*DIVISOR ), true )+Y ) }{ color_( round( (A_TERM-D_TERM)*DIVISOR ), true ) }