Übung: Erwartungswert
Ein Glücksspiel auf dem Rummel hat folgende Spielregeln: die Spieler wirft einen zehnseitigen Würfel. Wirft man RESULT_DESC erhält man MAKE Euro Gewinn. Bei allen anderen Zahlen verliert man allerdings LOSE Euro.
Wie viel Geld erwarten wir pro Spiel zu gewinnen oder verlieren?
\mathrm{Euro}\;
ANS
Der Erwartungswert eines Ereignisses (wie beispielsweise dieses Glücksspiel) ist der gewichtete Wert aller Ergebnisses. Da es sein kann, dass einige Ergebnisse eine höhere Wahrscheinlichkeit haben als andere, gewichten wir jedes Ergebnis einzeln um zu sehen, welchen Wert wir im Mittel erwarten.
In unseren Fall können zwei Ereignisses eintreten: entweder wir würfeln RESULT_DESC und gewinnen das Spiel, oder wir würfeln etwas anderes und verlieren. Daher würde unser Erwartungswert wie folgt berechnen:
E =
(Geld gewonnen da RESULT_DESC geworfen)
\cdot
(Wahrscheinlichkeit RESULT_DESC zu würfeln)
+
(Geld verloren da RESULT_DESC geworfen)
\cdot
(Wahrscheinlichkeit kein RESULT_DESC zu würfeln).
Wir gewinnen \mathrm{Euro}\; MAKE, wenn wir das Spiel gewinnen. Die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen, ist die Wahrscheinlichkeit RESULT_DESC zu würfeln.
Die Wahrscheinlichkeit ist die Anzahl der günstigen Ereignisse geteilt durch die Anzahl aller möglichen Ereignisse, daher MAKE_FR.
Wir verlieren LOSE Euro wenn wir eine andere Zahl würfeln. Man könnte auch sagen, wir gewinnen \mathrm{Euro}\; -LOSE Euro. Die Wahrscheinlichkeit, dass wir verlieren, ist die Wahrscheinlichkeit nicht RESULT_DESC zu würfeln, daher die Gegenwahrscheinlichkeit zu gewinnen.
Die Wahrscheinlichkeit zu verlieren ist also:
1 - MAKE_FR = LOSE_FR.
Wenn wir also die durchschnittliche Summe an Geld nehmen, die wir für jedes Ereignis gewinnen bzw. verlieren würden, gewichtet mit wie wahrscheinlich das Eintreten dieses Ereignisses ist, erhalten wir den Erwartungswert für das Spiel:
(MAKE\cdotMAKE_FR) +
(-LOSE\cdotLOSE_FR) =
ANS_F = -\mathrm{Euro}\; localeToFixed(-ANS, 2)
\mathrm{Euro}\; localeToFixed(ANS, 2).
Wie würfeln mit einem SIDES-seitigen Würfel. Was ist der Erwartungswert eines Wurfs?
Der Erwartungswert eines Ereignisses (wie beispielsweise dieses Würfelwurfs) ist der gewichtete Wert aller Ergebnisses. Wir gewichten jedes Ergebnis mit seiner Eintrittswahrscheinlichkeit einzeln um zu sehen, welchen Wert wir im Mittel erwarten werden.
In unserem Fall gibt es SIDES mögliche Ereignisse: das erste Ereignis ist der Wurf eines 1, das zweite der Wurf einer 2, und so weiter. Der Wert jedes Ereignisses ist die Augenzahl des Würfels.
Der Wert des ersten Ereignisses ist 1 und dessen Eintrittswahrscheinlichkeit ist \dfrac{1}{SIDES}.
Der Wert des zweiten Ereignisses ist 2, der Wert des dritten 3, und so weiter. Insgesamt gibt es SIDES mögliche Ereignisse, jedes mit einer Eintrittswahrscheinlichkeit von \dfrac{1}{SIDES}.
Wenn wir den Mittelwert aller möglichen Augenzahlen berechnen, erhalten wir den Erwartungswert, und der ist
SUM =
mixedFractionFromImproper(ANS_N,SIDES,true,true).
Wir entscheiden uns, dass wir nur ein Lotterielos kaufen werden, wenn der erwartete Gewinn größer ist als der Einsatz. Ein Los kostet \mathrm{Euro}\; COST und wir erhalten \mathrm{Euro}\; PRIZE bei einem Gewinn. Eins aus ODDS Losen gewinnt. Das bedeutet, die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen ist ODD_F.
Sollten wir ein Los kaufen?
- Ja, der Erwartungswert ist positiv.
- Nein, der Erwartungswert ist negativ.
Der Erwartungswert eines Ereignisses (wie beispielsweise dieses Glücksspiel) ist der gewichtete Wert aller Ergebnisses. Bei dieser Lotterie ist es wesentlich wahrscheinlicher, dass wir verlieren als das wir gewinnen. Daher müssen wir jedes Ergebnis einzeln gewichten um zu sehen, welchen Wert wir im Mittel gewinne oder verlieren werden.
Dies bedeutet, dass der Erwartungswert, unter Berücksichtigung des Kaufpreises und der Gewinnwahrscheinlichkeit lässt sich wie folgt berechnen:
E = (Geld gewonnen, wenn wir gewinnen)
\cdot (Wahrscheinlichkeit zu gewinnen) +
(Geld verloren, wenn wir nicht gewinnen)
\cdot (Wahrscheinlichkeit nicht zu gewinnen).
Wir berechnen jeden dieser Terme einzeln, angefangen mit einem Gewinn: das Geld, dass wir gewinnen ist \mathrm{Euro}\; PRIZE und wir wissen, dass die Gewinnwahrscheinlichkeit ODD_F beträgt.
Wenn wir verlieren, gewinnen wir kein Geld, oder man könnte auch sagen, wir gewinnen \mathrm{Euro}\; 0. Die Wahrscheinlichkeit zu verlieren ist die Gegenwahrscheinlichkeit zu gewinnen, daher 1
- ODD_F.
Zusammengefasst ist unser Erwartungswert E = (\mathrm{Euro}\; PRIZE)
(ODD_F) + (\mathrm{Euro}\; 0) (1 - ODD_F) =
\mathrm{Euro}\; \dfrac{PRIZE}{ODDS} =
\mathrm{Euro}\; fraction(PRIZE,ODDS,true,true).
\mathrm{Euro}\; fraction(PRIZE,ODDS,true,true) -
\mathrm{Euro}\; COST ist positiv.
Da der Erwartungswert positiv ist kaufen wir ein Lotterielos.
\mathrm{Euro}\; fraction(PRIZE,ODDS,true,true) -
\mathrm{Euro}\; COST ist
negativ.
Da der Erwartungswert negativ ist, werden wir auf lange Sicht Geld verlieren. Wir kaufen daher kein Los.