Übung: Besondere rechtwinklige Dreiecke

randRange( 2, 7 )

In dem rechtwinkligen Dreieck ist AC = BC = AC. Was ist AB?

betterTriangle( 1, 1, "A", "B", "C", AC, AC, "x" );

AC * AC * 2

Wir kennen die Länge der Schenkel des Dreiecks. Wir müssen die Länge der Hypotenuse bestimmen. Welcher mathematischer Zusammenhang besteht zwischen dem Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks und dessen Hypotenuse?

Wir können entweder den Sinus (Gegenkathete geteilt durch Hypotenuse) oder den Cosinus (Ankathete geteilt durch Hypotenuse) verwenden. Da die beiden Schenkel des Dreiecks kongruent sind, ist dies ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck (45°-45°-90° Winkel) und wir kennen die Werte von Sinus und Cosinus von allen Winkeln des Dreiecks.

Probieren wir den Sinus:

betterTriangle( 1, 1, "A", "B", "C", AC, AC, "x" ); arc([5/sqrt(2), 0], 0.5, 135, 180); label([5/sqrt(2)-0.4, -0.1], "{45}^{\\circ}", "above left");

Sinus ist die Gegenkathete geteilt durch die Hypotenuse, daher ist \sin {45}^{\circ} gleich \dfrac{AC}{x}. Wir wissen auch, dass \sin{45}^{\circ} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}.

Wir lösen nach xauf. Dadurch erhalten wir

\qquad x \cdot \sin {45}^{\circ} = AC

\qquad x \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = AC

\qquad x = AC \cdot \dfrac{2}{\sqrt{2}}

Daher ist die Hypotenuse \sqrt{2} mal so lang wie jeder der Schenkel, da x = AC \cdot \sqrt{2}.

2 * randRange( 2, 6 )

In dem rechtwinkligen Dreieck ist AC = BC und AB = AB. Welche Länge haben die Schenkel?

betterTriangle( 1, 1, "A", "B", "C", "x", "x", AB );

AB * AB / 2

Wir kennen die Länge der Hypotenuse. Wir müssen die Längen der Schenkel bestimmen. Welcher mathematischer Zusammenhang besteht zwischen den Schenkeln eines rechtwinkligen Dreiecks und dessen Hypotenuse?

Probieren wir den Cosinus:

betterTriangle( 1, 1, "A", "B", "C", "x", "x", AB ); arc([5/sqrt(2), 0], 0.5, 135, 180); label([5/sqrt(2)-0.4, -0.1], "{45}^{\\circ}", "above left");

Cosinus ist die Ankathete geteilt durch Hypotenuse, daher ist \cos {45}^{\circ} gleich \dfrac{x}{AB}. Wir wissen auch, dass \cos{45}^{\circ} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}.

Wir lösen nach xauf. Dadurch erhalten wir x = AB \cdot \cos {45}^{\circ} = AB \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}

Daher ist x = AB/2 \sqrt{2}.

2 * randRange( 2, 6 )

In dem rechtwinkligen Dreieck ist AC = BC und AB = AB\sqrt{2}. Welche Länge haben die Schenkel?

betterTriangle( 1, 1, "A", "B", "C", "x", "x", AB + "\\sqrt{2}" );

AB * AB

Probieren wir den Cosinus:

betterTriangle( 1, 1, "A", "B", "C", "x", "x", AB + "\\sqrt{2}" ); arc([5/sqrt(2), 0], 0.5, 135, 180); label([5/sqrt(2)-0.4, -0.1], "{45}^{\\circ}", "above left");

Cosinus ist die Ankathete geteilt durch Hypotenuse, daher ist \cos {45}^{\circ} gleich \dfrac{x}{AB\sqrt{2}}. Wir wissen, dass \cos{45}^{\circ} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}.

Wir lösen nach xauf. Dadurch erhalten wir x = AB\sqrt{2} \cdot \cos {45}^{\circ} = AB\sqrt{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}

Daher ist x = AB \left(\dfrac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{2}\right) = AB \left(\dfrac{2}{2}\right) = AB.

randRange( 2, 6 ) randFromArray([ [1, ""], [3, "\\sqrt{3}"] ]) BC + BCrs randFromArray([ "\\angle A = 30^\\circ", "\\angle B = 60^\\circ" ])

In dem rechtwinkligen Dreieck ist mAB und BC = BC + BCrs. Welche Länge hat AB?

betterTriangle( 1, sqrt(3), "A", "B", "C", BC + BCrs, "", "x" );

4 * BC * BC * BCr

Wir kennen die Länge eines Schenkels. Wir müssen die Längen der Hypotenuse bestimmen. Welcher mathematischer Zusammenhang besteht zwischen dem Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks und dessen Hypotenuse?

Wir können entweder den Sinus (Gegenkathete geteilt durch Hypotenuse) oder den Cosinus (Ankathete geteilt durch Hypotenuse) verwenden. Da die beiden Schenkel des Dreiecks kongruent sind, ist dies ein 30°-60°-90° Dreieck und wir kennen die Werte von Sinus und Cosinus von allen Winkeln des Dreiecks.

Probieren wir den Sinus:

betterTriangle( 1, sqrt(3), "A", "B", "C", BC + BCrs, "", "x" ); arc([0, 5*sqrt(3)/2], 0.8, 270, 300); label([-0.1, (5*sqrt(3)/2)-1], "{30}^{\\circ}", "below right");

Sinus ist die Gegenkathete geteilt durch Hypotenuse, daher ist \sin {30}^{\circ} = \dfrac{BCdisp}{x}. Wir wissen auch, dass \sin{30}^{\circ} = \dfrac{1}{2}.

Wir lösen nach xauf. Dadurch erhalten wir

\qquad x \cdot \sin{30}^{\circ} = BCdisp

\qquad x \cdot \dfrac{1}{2} = BCdisp

\qquad x = BCdisp \cdot 2

Daher ist x = BC*2 + BCrs.

3 * randRange( 2, 6 ) randFromArray([ [1, "", (AC * 2 / 3) + "\\sqrt{3}", AC * AC * 4 / 3], [3, "\\sqrt{3}", (AC * 2), AC * AC * 4] ]) AC + ACrs randFromArray([ "\\angle A = 30^\\circ", "\\angle B = 60^\\circ" ])

In dem rechtwinkligen Dreieck ist mAB und AC = AC + ACrs. Welche Länge hat AB?

betterTriangle( 1, sqrt(3), "A", "B", "C", "", AC + ACrs, "x" );

AB

Wir können entweder den Sinus (Gegenkathete geteilt durch Hypotenuse) oder den Cosinus (Ankathete geteilt durch Hypotenuse) verwenden. Da die beiden Schenkel des Dreiecks kongruent sind, ist dies ein 30°-60°-90° Dreieck und wir kennen die Werte von Sinus und Cosinus von allen Winkeln des Dreiecks.

Probieren wir den Cosinus:

betterTriangle( 1, sqrt(3), "A", "B", "C", "", AC + ACrs, "x" ); arc([0, 5*sqrt(3)/2], 0.8, 270, 300); label([-0.1, (5*sqrt(3)/2)-1], "{30}^{\\circ}", "below right");

Cosinus ist die Ankathete geteilt durch Hypotenuse, daher ist \cos {30}^{\circ} = \dfrac{ACdisp}{x}. Wir wissen auch, dass \cos{30}^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.

Wir lösen nach xauf. Dadurch erhalten wir

\qquad x \cdot \cos{30}^{\circ} = ACdisp

\qquad x \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = ACdisp

\qquad x = ACdisp \cdot \dfrac{2}{\sqrt{3}}

\qquad x = ACdisp \cdot \dfrac{2\cdot\sqrt{3}}{3}

Daher ist x = ABs.

randRange( 2, 6 ) randFromArray([ [1, ""], [3, "\\sqrt{3}"] ]) 2*BC + BCrs randFromArray([ "\\angle A = 30^\\circ", "\\angle B = 60^\\circ" ])

In dem rechtwinkligen Dreieck ist mAB und AB = ( 2 * BC ) + BCrs. Welche Länge hat BC?

betterTriangle( 1, sqrt(3), "A", "B", "C", "x", "", ( 2 * BC ) + BCrs );

BC * BC * BCr

Wir können entweder den Sinus (Gegenkathete geteilt durch Hypotenuse) oder den Cosinus (Ankathete geteilt durch Hypotenuse) verwenden. Da die beiden Schenkel des Dreiecks kongruent sind, ist dies ein 30°-60°-90° Dreieck und wir kennen die Werte von Sinus und Cosinus von allen Winkeln des Dreiecks.

Probieren wir den Cosinus:

betterTriangle( 1, sqrt(3), "A", "B", "C", "x", "", ( 2 * BC ) + BCrs ); arc([5/2,0], 0.5, 120, 180); label([5/2-0.2, 0], "{60}^{\\circ}", "above left");

Cosinus ist die Ankathete geteilt durch Hypotenuse, daher ist \cos {60}^{\circ} = \dfrac{x}{ABdisp}. Wir wissen auch, dass \cos{60}^{\circ} = \dfrac{1}{2}.

Wir lösen nach x auf. Dadurch erhalten wir

\qquad x = ABdisp \cdot \cos{60}^{\circ}

\qquad x = ABdisp \cdot \dfrac{1}{2}

Daher ist x = BC + BCrs.

3 * randRange( 2, 6 ) randFromArray([ [1, "", (AC * 2 / 3) + "\\sqrt{3}", AC * AC * 4 / 3], [3, "\\sqrt{3}", (AC * 2), AC * AC * 4] ]) randFromArray([ "\\angle A = 30^\\circ", "\\angle B = 60^\\circ" ])

In dem rechtwinkligen Dreieck ist mAB und AB = ABs. Welche Länge hat AC?

betterTriangle( 1, sqrt(3), "A", "B", "C", "", "x", ABs );

AC * AC * ACr

Wir können entweder den Sinus (Gegenkathete geteilt durch Hypotenuse) oder den Cosinus (Ankathete geteilt durch Hypotenuse) verwenden. Da die beiden Schenkel des Dreiecks kongruent sind, ist dies ein 30°-60°-90° Dreieck und wir kennen die Werte von Sinus und Cosinus von allen Winkeln des Dreiecks.

Probieren wir den Sinus:

betterTriangle( 1, sqrt(3), "A", "B", "C", "", "x", ABs ); arc([5/2,0], 0.5, 120, 180); label([5/2-0.2, 0], "{60}^{\\circ}", "above left");

Sinus ist die Gegenkathete geteilt durch Hypotenuse, daher ist \sin {60}^{\circ} = \dfrac{x}{ABs}. Wir wissen auch, dass \sin{60}^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.

Wir lösen nach xauf. Dadurch erhalten wir

\qquad x = ABs \cdot \sin{60}^{\circ}

\qquad x = ABs \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}

Daher ist x = AC + ACrs.