Übung: Absoluter Betrag von komplexen Zahlen

randRangeExclude( -8, 8, [ -1, 0, 1, 2 ] ) randRangeExclude( -8, 8, [ -1, 0, 1, 2 ] ) REAL * REAL + IMAG * IMAG complexNumber( REAL, IMAG )

Bestimme den Betrag folgender komplexer Zahl:

\large REPRESENTATION

ABS_SQUARE

Der Betrag eine komplexen Zahl ist ihr Abstand von (0,0) im Koordinatensystem. Komplexe Zahl können in der gaußschen Zahlenebene (oder kurz Gaußebene) aufgetragen werden, ihr Betrag kann mithilfe der Formel für den Abstand zweier Punkte berechnet werden. Diese Formel leitet sich anhand des Satzes des Pythagoras her.

graphInit({ range: [[-10, 10], [-10, 10]], scale: 20, tickStep: 1, labelStep: 1, }); label( [10, 0.5], "Re", "left" ); label( [0.5, 9], "Im", "right" ); circle( [REAL, IMAG], 3 / 20, { fill: MatheguruHelper.BLUE, stroke: "none" }); label( [REAL, IMAG], REPRESENTATION, "left", { color: MatheguruHelper.BLUE, labelDistance: 10 } );

REPRESENTATION ist als blauer Punkt eingezeichnet.

path([ [0,0], [REAL, IMAG]], { stroke: MatheguruHelper.ORANGE });

Der Betrag beider Zahlen ist die Länge der orangefarbenen Strecke.

path([ [0,0], [REAL, 0], [REAL, IMAG]], { stroke: MatheguruHelper.BLUE });

Die orangefarbene Strecke ist die Hypothenuse des rechtwinkligen Dreiecks. Die beiden Schenkel des Dreiecks (in blau) haben die Längen abs( REAL ) und abs( IMAG ), welche mit dem Betrag des Realteils (|REAL| = abs( REAL )) und Imaginärteils (|IMAG| = abs( IMAG )) von REPRESENTATION übereinstimmen.

Nach dem Satz des Pythagoras gilt demnach:
\qquad |REPRESENTATION|^2 = abs( REAL )^2 + abs( IMAG )^2, so
\qquad |REPRESENTATION| = \sqrt{abs( REAL )^2 + abs( IMAG )^2}.

\qquad \sqrt{abs(REAL)^2 + abs(IMAG)^2} = \sqrt{REAL * REAL + IMAG * IMAG} = \sqrt{ABS_SQUARE}

Wir vereinfachen die Wurzeln noch zu formattedSquareRootOf( ABS_SQUARE ). Das ist der Betrag von REPRESENTATION.

Die Wurzel kann nicht weiter vereinfacht werden. Der Betrag von REPRESENTATION ist daher \sqrt{ABS_SQUARE}.