Zufallsexperiment

Ein Zufallsexperiment ist ein Experiment, bei dem der Ausgang nicht voraussagbar ist.

Der Ausgang eines Zufallsexperiments wird Ereignis genannt. Generell unterscheidet man zwischen einstufigen und mehrstufigen Zufallsexperimenten.

Einstufiges Zufallsexperiment

Wie der Name schon andeutet, besteht ein einstufiges Zufallsexperiment aus einer einzigen Wiederholung eines Versuchs.

• (einmaliges) Werfen einer Münze
• (einmaliges) Werfen eines Würfels
• (einmaliges) Drehen eines Glücksrades
• (einmaliges) Ziehen einer einzigen Kugel aus einer Urne

Mehrstufiges Zufallsexperiment

Wird ein einstufiges Zufallsexperiment mehrmals hintereinander wiederholt, heißt es mehrstufiges Zufallsexperiment.

Mehrstufige Zufallsexperimente kann man mit einem Baumdiagramm (wie dem rechts) anschaulich darstellen. Der Weg auf einem Baumdiagramm vom Ausgangspunkt zu einem Ast auf der letzten Ebene heißt Pfad. In unseren Fall handelt es sich um ein zweistufiges Zufallsexperiment, da wir zwei Mal eine Kugel aus der Urne entnehmen.

In diesem Beispiel besteht unser Zufallsexperiment dahin, aus einer Urne mit 9 Kugeln, von denen 4 blau und 5 weiß sind, in jedem Durchgang eine zu entnehmen und nicht wieder zurückzulegen. Die Wahrscheinlichkeit jedes Ereignisses wird neben die Option auf den Ast des Baumes geschrieben. So ist beim ersten Durchgang die Wahrscheinlichkeit, eine blaue Kugel zu ziehen noch ⁴/₉. Ziehen wir allerdings eine blaue Kugel, ist eine Kugel weniger in der Urne; wir müssen daher die Wahrscheinlichkeit neu berechnen. Das selbe gilt für die weißen Kugeln.

Ist bekannt wie viele Stufen das Zufallsexperiment hat, wird in der Regel noch hinter den letzten Ast die Wahrscheinlichkeit von diesem Pfad geschrieben. Sie kann mit den Pfadregeln ausgerechnet werden. Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten rechts ergibt immer 1.

Wahrscheinlichkeiten berechnen

Mit den Pfadregeln lassen sich die Wahrscheinlichkeiten dieses mehrstufigen Zufallsexperiments errechnen. Wollen wir beispielsweise wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, zuerst eine blaue Kugel zu ziehen und dann eine weiße, würden wir vom Ausgangspunkt aus zuerst zu „blau“ gehen, welches beim ersten Zug eine Wahrscheinlichkeit von 4/9 hat. Dann gehen wir weiter entlang des Astes nach „weiß“. Dies hat eine Wahrscheinlichkeit von 5/8. Die Wahrscheinlichkeit zuerst eine weiße, dann eine blaue Kugel zu ziehen ist das Produkt beider Wahrscheinlichkeiten.

Jetzt wollen wir aber wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, eine blaue und eine weiße Kugel zu ziehen, unabhängig von der Reihenfolge. In unserem Baumdiagramm gibt es zwei Pfade, wo sowohl eine blaue als auch eine weiße Kugel gezogen wurde. Die Wahrscheinlichkeit von „blau weiß“ und „weiß blau“ wird wie folgt berechnet:

Wir sind wie bei dem vorigen Beispiel die Pfade entlang gegangen und haben die einzelnen Wahrscheinlichkeiten multipliziert. Zum Schluss haben wir diese beiden Wahrscheinlichkeit noch zusammenaddiert.

Generell kann man sich merken:

• Werden Ereignisse mit dem Wort „und“ miteinander verbunden, wird multipliziert
• Werden Ereignisse mit dem Wort „oder“ miteinander verbunden, wird addiert