Poisson-Verteilung

Eine weitere wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilung, neben der Binomialverteilung und der Normalverteilung, ist die Poisson-Verteilung, benannt nach dem französischen Mathematiker und Physiker Siméon Denis Poisson (1781 – 1840). Die Poisson-Verteilung wird vor allem dort eingesetzt, wo die Häufigkeit eines Ereignisses über eine gewisse Zeit betrachtet wird.

Man würde die Poisson-Verteilung beispielsweise in folgenden Situationen anwenden, um herauszufinden wie hoch ist

die Anzahl der Gäste, die ein Restaurant zwischen 20:00 und 22:00 Uhr betreten haben

die Anzahl der SMS, die Jugendliche pro Tag verschicken
die Anzahl der α-Teilchen, die eine radioaktive Substanz pro Sekunde aussendet
die Anzahl an Mutationen, die in einer DNA-Sequenz vorkommen

Definition

Die Wahrscheinlichkeit für die Zufallsvariable X der Poisson-Verteilung wird durch folgende Formel berechnet:

$ \Large{ P(X=x) \;\;=\;\;\frac{\lambda^x}{x!} \cdot e^{-\lambda},\quad x \in\mathbb{N}_0 } $

λ = ist der Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße (wird bei der Poisson-Verteilung auch öfters mit dem kleinen griechischen Buchstaben µ geschrieben und manchmal als Intensitätsparameter bezeichnet)
n! ist die Fakultät der natürlichen Zahl n
e ist die Euler’sche Zahl

Die Standardabweichung σ und Varianz σ² der Poisson-Verteilung werden direkt aus dem Erwartungswert berechnet:

$ \large{ \begin{align} \lambda \;\;=\;\; \mu \;\;&=\;\; n\cdot p \\[1ex] \sigma^2 \;\;&=\;\; {\lambda } \\[1ex] \sigma \;\;&=\;\; \sqrt{\lambda } \end{align} } $

Beispiel und Erklärung

Das Restaurant Fat’s Pizza führt Buch über die Anzahl an Gästen, die das Restaurant betreten. Laut der Aufzeichnungen ist der Erwartungswert µ = 12,1 zwischen 20:00 und 22:00 Uhr. Bestimme mit der Poisson-Verteilung, dass die Anzahl an Gästen in Fat’s Pizza zwischen 20:00 und 22:00 Uhr

genau 8 sein werden
höchstens 10 sein werden
zwischen 9 und 15 sein werden (inklusive 9 und 15)

mindestens 11 sein werden

Da wir wissen, dass der Erwartungswert für die Poisson-Verteilung bei µ = λ = 12,1 liegt, können wir die Poisson-Verteilung mit folgendem Parameter verwenden:

$ P(X=x) \;\;=\;\;\frac{12{,}1^x}{x!} \cdot e^{-12{,}1} $

Die Wahrscheinlichkeit für genau 8 Gäste zu berechnen ist einfach. Wir berechnen dazu P(X = 8). Damit hätten wir:

$ P(X=8) \;\;=\;\;\frac{12{,}1^8}{8!} \cdot e^{-12{,}1}\;\;\approx\;\;0{,}0634 $
Höchstens 10 bedeutet 10 oder weniger Gäste. Wir berechnen also:

$ P(X\leq 10) \;\;=\;\;\frac{12{,}1^0}{0!} \cdot e^{-12{,}1}\;+\;\frac{12{,}1^1}{1!}\cdot e^{-12{,}1}\;+\;\ldots\;+\; \frac{12{,}1^{10}}{10!}\cdot e^{-12{,}1} \;\;=\;\; \sum_{x=0}^{10}\frac{12{,}1^x}{x!} \cdot e^{-12{,}1} \;\;\approx\;\;0{,}3368 $
Wie bei dem Punkt vorher, addieren wir auch hier die einzelnen Werte, nur eben von 9 bis einschließlich 15:

$ P(9\leq X\leq 15) \;\;=\;\;\frac{12{,}1^9}{9!} \cdot e^{-12{,}1}\;+\;\frac{12{,}1^{10}}{10!}\cdot e^{-12{,}1}\;+\;\ldots\;+\; \frac{12{,}1^{15}}{15!}\cdot e^{-12{,}1} \;\;=\;\; \sum_{x=9}^{15}\frac{12{,}1^x}{x!} \cdot e^{-12{,}1} \;\;\approx\;\;0{,}6885 $

Diese Frage ist schwieriger zu beantworten. Wir müssen die folgende Summation berechnen:

$ \sum_{x=11}^{\infty}\frac{12{,}1^x}{x!} \cdot e^{-12{,}1}\;\;\approx\;\;0{,}6632 $

Hier kann man sehen, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung für Werte, die weit vom Erwartungswert µ entfernt sind, nur für sehr kleine Wahrscheinlichkeiten berechnet werden. Das ist auch relativ einleuchtend, wenn man bedenkt, dass normalerweise rund 12 Personen zu der gegebenen Uhrzeit in dem Restaurant zu Gast sind, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass auf einmal 1000 oder sogar noch mehr kommen, denkbar gering. Die Poisson-Verteilung konvergiert, für Werte, die weit von µ entfernt sind, gegen 0.

Histogramm zur Poisson-Verteilung

Auf der rechten Seite sehen wir ein Histogramm der Poisson-Verteilung für µ = 12,1 für die Werte von 0 bis einschließlich 25. Was man sofort sehen kann, ist, dass die Poisson-Verteilung nicht symmetrisch ist. Im Gegenteil, sie hat eine gewisse Neigung nach rechts. Man sagt auch, die Verteilung sei rechtsschief.

Wir haben die Poisson-Verteilung nur von 0 bis einschließlich 25 abgebildet. Da die Poisson-Verteilung aber für alle natürlichen Zahlen und 0 definiert ist, geht sie auf der positiven Seite der x-Achse nach rechts unendlich weiter.

Verteilung der seltenen Ereignisse

Die Poisson-Verteilung wird auch manchmal als „Verteilung der seltenen Ereignisse“ bezeichnet.

Wenn eine statistische Masse (auch Grundgesamtheit oder Population genannt), daher die Menge aller untersuchten Dinge/Personen, sehr groß ist, die Wahrscheinlichkeit aber, dass ein Ereignis eintritt, gleichzeitig sehr klein, kann statt der Binomialverteilung auch die Poisson-Verteilung verwendet werden.

Poisson-Verteilung als Näherung zur Binomialverteilung

Wie wir wissen, wird die Binomialverteilung mit folgender Formel berechnet:

$ P(X=x)\;\;=\;\; \binom{n}{x}p^{x}\cdot\left(1-p\right)^{n-x} $

Da der Binomialkoeffiziert bei größeren Werten nur unter erhöhtem Rechenaufwand – selbst für moderne Computersystem – zu berechnen ist, kann man die Poisson-Verteilung benutzen, um die Binomialverteilung anzunähern. Man benutzt die Poisson-Verteilung im allgemeinen zu Annäherung der Binomialverteilung, wenn n groß ist und p klein. Als Erwartungswert µ der Poisson-Verteilung verwenden wir µ = λ = n · p.

Allgemein approximiert die Poisson-Verteilung die Binomialverteilung sehr gut für Werte von n ≥ 100 und λ ≤ 10.

Neben den Geschwindigkeitsvorteilen bei der Berechnung, hat die Poission-Verteilung noch den Vorteil, dass sie unendlich abzählbar ist, sich also ins positiv Unendliche ∞ fortsetzt.

Poisson-Verteilung Interaktiv

n

Lambda

0,5

Poisson-Rechner

Mit dem Rechner können genaue Werte für die Poisson-Verteilung berechnet werden. Berechnet wird

P(X = k) [„genau“],
P(X ≤ k) [„höchstens“] und

P(X ≥ k) [„mindestens“].

Erwartungswert

$ {\color{gray}{ \lambda\in \mathbb{R}_{\geq 0} }} $

$ {\color{gray}{ k\in \mathbb{N} }} $

Alle Berechnungen werden mit R durchgeführt

$$ \large P(X=k) \,=\, \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda} $$

Berechnungsergebnis

f(k; λ) =

$$ \large F(k, \,\lambda) \,=\, \frac{\Gamma\big(\lfloor k+1\rfloor, \,\lambda\big)}{\lfloor k\rfloor !} \;=\; e^{-\lambda} \sum_{i=0}^{\lfloor k\rfloor} \frac{\lambda^i}{i!} $$

Berechnungsergebnis

F(k; λ) =

$$ \large F(k, \,\lambda) \,=\, 1-\frac{\Gamma\big(\lfloor k\rfloor, \,\lambda\big)}{\lfloor k-1\rfloor !} \;=\; e^{-\lambda} \sum_{i=\lfloor k\rfloor}^{\infty} \frac{\lambda^i}{i!} $$

Berechnungsergebnis

F(k; λ) =