Mindestwahrscheinlichkeit

Die meistens Aufgaben zur Berechnung der Mindestwahrscheinlichkeit lassen sich auf zwei einfache Formeln reduzieren: zum einen kann berechnet werden, wie hoch die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer ist, zum anderen, wie oft ein Experiment durchgeführt werden muss, damit eine gewisse Wahrscheinlichkeit erreicht wird.

Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer

Ist bereits die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer sowie die Anzahl der Durchführungen des Experiments gegeben, dann wird meist nach der Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer gefragt.

Definition

Die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer ist die Gegenwahrscheinlichkeit für gar keinen Treffer:

\( \Large{ P\left ( X\geq 1 \right ) \;\;=\;\; 1-\left ( 1-p \right )^n } \)

p ist die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses
n ist die Anzahl der Durchführungen

Beispiel

Ein Würfel wird 7 Mal geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einmal die Zahl 6 geworfen wurde?

Lösung

\( \large{ P\left ( X\geq 1 \right ) \;\;=\;\; 1-\left ( 1-\tfrac{1}{6} \right )^7 \;\;\approx\;\; 0{,}721 } \)

Die Wahrscheinlichkeit, dass bei siebenmaligem Würfeln mindestens einmal die Zahl 6 geworfen wird, ist ca. 72,1%.

Mindestzahl von Durchführungen

In einigen Aufgaben ist nicht nach der Mindestwahrscheinlichkeit gefragt, sondern danach, wie häufig ein Experiment durchgeführt werden muss, damit eine gewisse Wahrscheinlichkeit erreicht wird.

Definition

Die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer bei n Durchführungen eines Experiments beträgt:

\( \Large{ n\,\geq \,\frac{\ln \left( 1-a \right )}{\ln \left( 1-p \right )} } \)

a ist die Mindestwahrscheinlichkeit, die erreicht werden soll
p ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer

Beispiel

Wie oft muss ein Würfel geworfen werden, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 90% mindestens eine 6 zu erhalten?

Lösung

\( \large{ n\,\geq \,\frac{\ln \left( 1-0.9 \right )}{\ln \left( 1-\frac{1}{6} \right )} \;\approx\; 12{,}63 } \)

Ein Würfel muss mindestens 13 Mal geworfen werden, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% eine 6 zu erhalten.

Quellen

Bortz, J. & Schuster, C. (2010). Statistik für Human- und Sozialwissenschaftler. Statistik für Human- und Sozialwissenschaftler.

Eid, M., Gollwitzer, M. & Schmitt, M. (2010). Statistik und Forschungsmethoden. Lehrbuch ; mit Online-Materialien (1. Aufl). Weinheim [u.a.]: Beltz.