Gesetz der großen Zahlen

Wird ein Zufallsexperiment immer unter den selben Bedingungen durchgeführt, so nähert sich die relative Häufigkeit immer weiter der Wahrscheinlichkeit des Zufallsexperiments an. Dieses Phänomen beschreibt wird von dem Gesetz der großen Zahlen (abgekürzt GGZ) beschrieben. Das Gesetz der großen Zahlen ist einer der wenigen Grenzwertsätze der Stochastik.

Erklärung

Wenn eine Münze geworfen wird, weiß man, dass die Wahrscheinlichkeit Kopf oder Zahl zu bekommen ½ beträgt. Was passiert aber, wenn die Münze 100 mal geworfen wird. Werden Kopf und Zahl jeweils genau 50 mal eintreffen? Wahrscheinlich nicht immer. Zwar sollte man Kopf 50 mal erwarten, wenn die Münze gerecht ist, aber durch leichte Abweichungen des Zufalls, werden Kopf und Zahl nach hundert Würfen eher nicht gleich verteilt sein.

Die gemessene Wahrscheinlichkeit (empirische Wahrscheinlichkeit), Kopf zu bekommen, ist für eine kleine Anzahl an Versuchen in der Regel nicht genau ½. Werden allerdings mehr Versuche durchgeführt, so wird sich die empirische Wahrscheinlichkeit immer weiter der idealen Wahrscheinlichkeit von ½ annähern.

Angemerkt sei auch, dass, wenn nach einer größeren Anzahl an Versuchen die gemessene Wahrscheinlichkeit stark von der vorhergesagten abweicht, die Münze oder der Würfel vermutlich keine Laplace-Münze oder Laplace-Würfel ist, und damit höchstwahrscheinlich getürkt. Im Spielerparadies Las Vegas gibt es  daher auch Angestellte, welche die Spielanlagen dauernd überwachen und die Anzahl der Gewinne und Verluste notieren. Sollte die gemessene Wahrscheinlichkeit zu stark von der vorhergesagten abweichen, tauschen sie die Würfel oder Karten aus.

Der Gesetz der großen Zahl gilt für alle Glücksspiele, egal ob Roulette, Würfelspiel oder Glücksrad.

Beispiel

Ein Würfel wird geworfen. Dabei werden die geworfenen Zahlen und die Anzahl der Würfe notiert. Nach jedem Wurf errechnet ein Computer die durchschnittliche Augenzahl aller Würfe. Da jede Zahl die gleiche Wahrscheinlichkeit hat einzutreten, würden wir erwarten, dass die durchschnittliche Augenzahl \( \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = 3,5 \) beträgt. Folgendes Diagramm zeigt das Ergebnis unseres Experiments:

Die rote Linie ist bei unserem Erwartungswert 3,5. Wie man sehen kann, pendelt sich der Durchschnitt der Würfe auch dort ein. Je häufiger wir würfeln, desto näher kommen wir unserem Erwartungswert. Würden wir unendlich oft würfeln, dann würde die gemessene empirische Wahrscheinlichkeit mit unserer vorhergesagten Wahrscheinlichkeit übereinstimmen.

Das Gesetz der großen Zahlen sagt dies voraus: Je größer die Anzahl an Messungen wird, desto näher kommt die gemessene Wahrscheinlichkeit einer Zahl.