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Fehler 1. Art, Fehler 2. Art | Fehler beim Testen von Hypothesen


Jede Entscheidung die wir basierend auf einer Hypothese treffen, kann falsch sein. Meistens ist der Fehler der, dass wir vorschnell unsere Schlussfolgerung getroffen haben oder dass wir unvollständige Informationen aus unserer Stichprobe benutzt haben, um damit eine allgemeine Aussage über die Gesamtheit zu treffen.

Beim Testen von Hypothesen gibt es zwei verschieden Arten von Fehlern, die uns unterlaufen können: der Fehler erster Art (auch α-Fehler) und der Fehler zweiter Art (auch β-Fehler).

Definition
 H0 ist
Wahr Falsch
H0 annehmen richtige Entscheidung Fehler 2. Art
H0 ablehnen Fehler 1. Art richtige Entscheidung
  • Fehler 1. Art
    H0 wird abgelehnt, auch wenn sie in Wirklichkeit wahr ist
  • Fehler 2. Art
    H0 wird angenommen, auch wenn sie in Wirklichkeit falsch ist

 

Merkhilfe

Oft werden Fehler 1. und 2. Art verwechselt. Man kann sich aber eine Eselsbrücke bauen: nimmt man an, die Nullhypothese sei "Person ist unschuldig", so wäre ein Fehler 1. Art "unschuldige Person verurteilen" und ein Fehler 2. Art "eine schuldige Person laufen lassen". Unterhalb ein weiteres Beispiel:

Merkhilfe #2: Beispiel für Type 1 und Typ 2 Fehler beim Testen von Hypothesen

Beispiel


KäseIn einer Fabrik packt eine Maschine jeweils 250g Käse ab.

H0: μ = 250g (die Maschine arbeitet korrekt)
H1: μ ≠ 250g (die Maschine arbeitet nicht korrekt)

wobei μ das durchschnittliche Gewicht der Packungen ist.

Fehler 1. und 2. Art

Betrachten wir nun, welche Fehler bei unseren Hypothesen auftreten können.

  1. Bei einem Fehler 1. Art, wird die Nullhypothese (H0) abgeleht, trotz der Tatsache, dass sie stimmt. Für unser Beispiel würde dies bedeuten, dass die Maschine zwar korrekt arbeiten würde (daher μ = 250g), wir in unserer Stichprobe feststellen würden, dass das Durchschnittsgewicht μ ≠ 250g ist.
  2. Beim Fehler 2. Art passiert genau das Gegenteil: die Maschine arbeitet nicht korrekt, sie packt also nicht ein Durchschnittsgewicht von 250g Käse ab, unsere Stichprobe zeigt dies allerdings nicht an. Laut ihr arbeitet die Maschine korrekt.

 Wir können natürlich auch eine richtige Entscheidung gemäß unserer Stichprobe fällen.

Was passiert aber, wenn unsere Stichprobe aussagt, dass unsere Nullhypothese falsch sei  −  daher dass μ ≠ 250g. Wie wirkt sich dies auf den Fehler aus, wenn das Durchschnittsgewicht tatsächlich 250g ist, und wenn es nicht 250g ist?

  1. Wenn μ = 250g ist, ist die Nullhypothese wahr. Lehnen wir sie ab, begehen wir einen Fehler 1. Art.
  2. Wenn μ ≠ 250g ist, ist die Nullhypothese falsch. Wenn wir sie ablehnen, treffen wir die richtige Entscheidung.

Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. und 2. Art berechnen


Wenn man wissen will wie gut oder schlecht eine Hypothese ist, muss man auch wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, eine falsche Aussage zu treffen. Ein Fehler 1. Art passiert, wenn wir eine wahre Nullhypothese ablehnen. Die Wahrscheinlichkeit, einen Fehler 1. Art zu begehen, nennt man Signifikanzniveau oder Irrtumswahrscheinlichkeit. Sie wird mit dem kleinen griechischen Buchstaben α abgekürzt und beträgt in der Regel 5% oder 1%. Im Gegensatz zum Fehler 1. Art, lässt sich die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art in der Regel nicht berechnen.

Im allgemeinen gilt: je kleiner die Wahrscheinlichkeiten für einen Fehler der 1. und 2. Art, desto besser.

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