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Erwartungswert


Würde ein Versuch unendlich oft wiederholt werden, so wäre der Durchschnittswert einer diskreten Zufallsvariable der Mittelwert der Ergebnisse des Versuchs. Dieser Mittelwert kann als Erwartungswert interpretiert werden, d.h., wir würden diesen Wert erwarten, wenn wir das Experiment unendlich lange durchführen würden.

Definition

Der Erwartungswert ist definiert als die Summe der Werte der Zufallsvariable xi multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit für das eintreten von xi. Der kleine griechische Buchstabe μ (gesprochen: "mü") wird für den Erwartungswert benutzt.

 

Erwartungswert und aritmetischen Mittel sind identisch, wenn die Wahrscheinlichkeit für jeden Versuch die selbe ist. Dies ist beispielsweise in einem binomialverteilten Experiment der Fall. Ist die Wahrscheinlichkeit für jeden Versuch anders, wird der Erwartungswert nach der Formel oben berechnet. In diesem Fall ist der Erwartungswert ein gewichtetes arithmetisches Mittel.

Der Erwartungswert kann benutzt werden, um festzustellen, ob ein Spiel "fair" ist. Bei einem fairen Spiel wäre der Erwartungswert Null – man würde genauso oft verlieren, wie man gewinnen würde. Langfristig betrachtig würden sich also Gewinn und Verlust ausgleichen.

Beispiel

GlücksspielJedes zweite Los gewinnt! Etliche Glücksspiele und Lotterien sind so konzipiert, dass viele Spieler etwas gewinnen – allerdings deutlich weniger als sie eingesetzt haben. Damit werden Spieler motiviert, ihren Gewinn wieder einzusetzen.

Wir spielen Roulette mit einem Einsatz von 5 € mit unserer Glückszahl 15. Die Wahrscheinlichkeiten und Auszahlungen beim Roulette sind in folgender Tabelle zusammengefasst:

EreignisxP(x)x · P(x)
Gewinnen 175 € 1/38 4,61 €
Verlieren -5 €  37/38  -4,87 €
Summe 1 -0,26 €

Was bedeutet das nun? Die Tabelle zeigt, dass, wenn wir gewinnen würden, wir das 35-fache unseres Einsatzes (175 €) zurückbekämen. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist allerdings nur 1/38. Wesentlich wahrscheinlicher ist es dagegen, dass wir verlieren. Unser "Gewinn" ist hier -5 € bei einer Wahrscheinlichkeit von 37/38.

In der letzten Spalte der Tabelle werden Wahrscheinlichkeit und Gewinn miteinander multipliziert. Die Summe aller Werte in der letzten Spalte ist der Erwartungswert.

Unser Erwartungswert von -0,26 € bedeutet, dass wir im Schnitt 0,26 € pro Spiel verlieren. Würden wir also unendlich oft Roulette spielen, so würden wir manchmal gewinnen und meistens verlieren. Auch wenn der Gewinn mit 175 € den Verlust von 5 € bei weitem übertrifft, so würde die Bank langfristig immer noch gewinnen, und zwar im Schnitt 0,26 € pro Spiel.

Erwartungswert einer stetigen Zufallsvariable


Bei stetigen Zufallsvariablen (beispielsweise bei normalverteilten Zufallsvariablen) kann der Erwartungswert nicht mit der Formel oben berechnet werden. Stattdessen wird folgende Definition verwendet:

Definition

Die Dichtefunktion einer stetigen Zufallsverteilung ist durch die Funktion f(x) gegeben.

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