Binomialkoeffizient

Der Binomialkoeffizient findet vor allem Anwendung in der Stochastik aber auch in anderen Gebieten der Mathematik. Der Name entstammt der Tatsache, dass man mit Hilfe des Binomialkoeffizienten die Koeffizienten einer Binomialerweiterung einfach bestimmen kann. Der Binomialkoeffizient lässt sich auch durch das Pascalsche Dreieck errechnen.

Definition

$ \large{ \displaystyle\binom nk \;=\; \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \;=\; \frac {n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{k!} } $

(Wird als „n über k“ oder „k aus n“ gesprochen)

Andere Schreibweisen, wie sie häufig auch auf Taschenrechnern zu finden sind: $ C(n,k) $, $ {}_n{C}_k $, $ {^n}C_k $, $ C_{n}^{k} $ und $ C_{k}^{n} $
(Das C steht hierbei für „combinations“ [Kombinationen] oder auch „choices“ [Auswahlmöglichkeiten])

n! ist die Fakultät von n.

Binomialkoeffizient in der Stochastik

In der Statistik findet der Binomialkoeffizient ein weites Anwendungsspektrum. Die Binomialverteilung hat ihren Namen beispielsweise daher erhalten. Die Formel der Binomialverteilung lautet:

$ \displaystyle P(X=k) \;=\; \binom{n}{k}p^k\left ( 1-p \right )^{n-k},\quad k\in \mathbb{N} $

Bei der Binomialverteilung berechnet der Binomialkoeffizient die verschiedenen Anordnungen, in welchen die Ereignisse auftreten können, welche alle bei der Berechnung der Wahrscheinlichkeit berücksichtigt werden müssen.

Beispiel

Bei einem Würfel ist die Wahrscheinlichkeit eine 6 zu würfeln @@ 1/6 @@. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit bei fünf Würfen, genau zwei mal eine 6 zu würfeln?

Spontan könnte man meinen, die Wahrscheinlichkeit sei @@ (1/6)^2*(5/6)^3 ~~ 0#0160 @@. Allerdings würde dies nicht berücksichtigen, dass die beiden Sechser zu verschiedenen Zeitpunkten geworfen werden könnten. Unsere beiden ersten Würfe könnten zum Beispiel zwei Sechser sein, und die restlichen Würfe andere Zahlen. Wir könnten aber auch die beiden Sechser erst zum Schluss würfeln. Insgesamt gibt es $ \dbinom{5}{2} $ oder 10 verschiedene Möglichkeiten:

6, 6, #, #, #
6, #, 6, #, #

6, #, #, 6, #
6, #, #, #, 6
#, 6, 6, #, #

#, 6, #, 6, #
#, 6, #, #, 6
#, #, 6, 6, #

#, #, 6, #, 6
#, #, #, 6, 6

Dadurch, dass wir den Binomialkoeffizienten in der Formel haben, müssen wir nicht selbst alle Kombinationen ausprobieren, sondern können diese direkt berechnen. In der Kombinatorik entspricht der Binomialkoeffizient daher auch der Anzahl der Möglichkeiten einer Kombination ohne Wiederholung.

Pascalsches Dreieck

Siehe auch den Artikel binomische Formeln

pascalsches dreieck summierung Das Pascalsche Dreieck funktioniert so, dass die Summe die beiden Zahl links und rechts die nächste Zahl unterhalb bildet (siehe Abbildung rechts).

Würde man die Variablen n und k als Koordinaten in einem Dreieck verstehen, so hätte man das Pascalsche Dreieck. n gäbe dabei die Reihe von oben gesehen, beginnend mit 1 an, während k die Zahl von links nach rechts gesehen ist. n wäre also quasi die y-Koordinate und k die x-Koordinate.

Die Zahl 2 (zweite Zahl in der dritten Reihe) könnte durch den Binomialkoeffizienten $ \dbinom{3}{2} \;=\; 3 $ berechnet werden.

Binomialkoeffizient Rechner

$ \large {\color{gray}{ n\in \mathbb{N} }} $

$ \large {\color{gray}{ k\in \mathbb{N},\;\; n\geq k }} $

Ergebnis

$$\large\binom{n}{k} \,=\, \frac{n!}{k!\,(n-k)!} \,=\, $$