Bernoulli-Kette

Mit der Bernoulli-Kette lassen sich viele Aufgaben in der Stochastik, für die man normalerweise viel rechnen müsste, vereinfacht darstellen und somit auch schneller lösen. Die Bernoulli-Kette kann uns die Wahrscheinlichkeit für einen Bernoulli-Prozess sagen. Bei einem Bernoulli-Prozess gibt es nur zwei mögliche Ergebnisse: 1 = „das Ereignis tritt ein“; 0 = „das Ereignis tritt nicht ein“. Wie wir sehen werden, können sehr viele Aufgabenarten als Bernoulli-Prozess gedeutet werden und damit mit der Bernoulli-Kette berechnet werden.

Bernoulli-Prozess

Wie bereits erwähnt, ist ein Bernoulli-Prozess (auch Bernoulli-Versuch genannt) ein Experiment, bei dem es nur zwei mögliche Ausgänge gibt: 1 oder 0; wahr oder falsch; ja oder nein; funktionierend oder fehlerhaft. Man interessiert sich also nur dafür, ob ein bestimmtes Ereignis eintritt oder nicht. Eine weitere Voraussetzung ist, dass sich die Wahrscheinlichkeit p nicht verändern darf und das die Einzelexperimente stochastisch voneinander unabhängig seien müssen.

Einige Aufgaben, bei denen es sich um einen Bernoulli-Prozess handelt:

Ziehen mit Zurücklegen
Würfeln
Glücksrad

Roulette

Bernoulli-Kette

Die Bernoulli-Kette erlaubt es uns, einen Bernoulli-Prozess einfach auszurechnen:

Definition

$ \large{ P(X=k) = \binom{n}{k}\cdot p^k\cdot \ubrace[\begin{smallmatrix}\footnotesize\mathrm{Gegenwahr-} \\ \footnotesize\mathrm{scheinlich-} \\ \footnotesize\mathrm{keit}\end{smallmatrix}]{\left ( 1-p \right )^{n-k}} } $

p ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis eintritt;
n ist die Anzahl der Versuche (auch Länge der Bernoulli-Kette genannt);
k ist die Anzahl der Treffer, die wir erzielen wollen;
P(X=k) sagt, dass wir die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer errechnen wollen

Beispiel

In einer Urne befinden sich 9 Kugeln. Davon sind 5 schwarz und die restlichen 4 weiß. Wir entnehmen eine Kugel, notieren die Farbe, und legen die Kugel wieder zurück in die Urne. Dies machen wir 5 mal. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter unseren fünf Ziehungen zwei weiße Kugeln befinden?

Normalerweise würden wir mit Brüchen die Wahrscheinlichkeit berechnen. Wir müssten selbst dafür sorgen, dass alle möglichen Reihenfolgen berücksichtigt werden:

@@ P(X=2) = 4/9*4/9*5/9*5/9*5/9 + 4/9*5/9*4/9*5/9*5/9 + 4/9*5/9*5/9*4/9*5/9 + 4/9*5/9*5/9*5/9*4/9 + 5/9*4/9*4/9*5/9*5/9 + … ~~ 33,87% @@

Dank der Bernoulli-Kette können wir die Wahrscheinlichkeit mit einer einzigen Formel einfach und zuverlässig ausrechnen:

$ \displaystyle P(X=2) \;\;=\;\; \binom{5}{2}\cdot \br{\frac{4}{9}}^2\cdot\br{1-\frac{4}{9}}^{5-2}\;\;\approx\;\;33,87% $

Mindestwahrscheinlichkeit

Zum Hauptartikel Mindestwahrscheinlichkeit

Die Bernoulli-Kette erlaubt es uns auch, auf schnelle und einfache Weise die Mindestwahrscheinlichkeit zu berechnen. Dieser Fall ist relativ schwer mit Brüchen berechnenbar, da viele Fallunterscheidungen vorgenommen werden müssen und man am Ende meistens sehr viele Einzelergebnisse hat, die summiert werden müssen.

Definition

$ \large{ P(X\geq 1) \;\;=\;\; P(X=1) \;+\; P(X=2) \;+\; \ldots + P(X=n-1) \;+\; P(X=n) \;\;=\;\; \boxed{{1-\left ( 1-p \right )^n}}. } $

Es geht aber auch einfacher. Die Formel für die Mindestwahrscheinlichkeit lässt sich aus der Bernoulli-Kette erschließen: die Mindestwahrscheinlichkeit ist nämlich die Gegenwahrscheinlichkeit dafür, dass null Treffer erzielt werden. Schauen wir uns das Ganze einmal in der Bernoulli-Kette an:

$ \displaystyle 1-\left[\ubrace[\text{1}]{\binom{n}{0}\cdot p^0}\cdot \left ( 1-p \right )^{n-0}\right] $

Der Binomialkoeffizient wird für alle Werte von n gleich 1 sein, wenn k gleich 0 ist. Definitionsgemäß ist eine Zahl gleich 1, wenn ihr Exponent 0 ist. Dementsprechend ist der erste Teil der Formel für die Bernoulli-Kette bei k=0 immer 1 – man kann den Faktor also einfach weglassen. Der restliche Teil der Bernoulli-Kette bleibt allerdings erhalten. Da wir die Gegenwahrscheinlichkeit errechnen wollen, müssen wir diesen Teil von 1 abziehen. Was übrig bleibt, entspricht der Formel für die Mindestwahrscheinlichkeit.

Rechner für die Bernoulli-Kette

Mit dem Rechner können genaue Werte für die Bernoulli-Kette berechnet werden. Berechnet wird

P(X = k) [„genau“],

P(X ≤ k) [„höchstens“] und
P(X ≥ k) [„mindestens“].

Anzahl der Versuche

$ {\color{gray}{ n\in \mathbb{N} }} $

Anzahl der Erfolge

$ {\color{gray}{ k\in \mathbb{N},\;\; n\geq k }} $

Erfolgswahrscheinlichkeit

$ {\color{gray}{ 0 < p < 1 }} $

Alle Berechnungen werden mit R durchgeführt

$$ \large P(X=k) \,=\, f(k;\, n,\, p) \,=\, {n\choose k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k} $$

Berechnungsergebnis

f(k; n, p) =

$$ \large F(k;\, n,\, p) \,=\, P(X \le k) \,=\, \sum_{i=0}^{\lfloor k \rfloor} {n\choose i}\cdot p^i\cdot (1-p)^{n-i} $$

Berechnungsergebnis

F(k; n, p) =

$$ \large P(X \ge k) \,=\, \sum_{i=\lfloor k \rfloor}^{n} {n\choose i}\cdot p^i\cdot (1-p)^{n-i} $$

Berechnungsergebnis

F(k; n, p) =